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| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion f(x)= [mm] x^3-(c+1)x^2+cx, [/mm] c element R.
a) Für welche Werte von c ist die x-Achse Tangente der Kurve f?
b) Für welche Werte von c hat f drei verschiedene Nullstellen?
c) Für welche Werte von c hat f genau ein Nullstelle? |
Mein größtes Problem liegt bei der ersten Teilaufgabe weil ich da gar keine Vorstellung habe, wie ich vorgehen soll :(.
Was sind denn die Vorraussetzungen dafür, dass f nur eine bzw. drei Nullstelle haben kann?
Mit freundlihen und (hoffentlich) dankbaren Grüßen ,
Richard!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mi 16.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
rechne erstmal die Nullstellen in Abhängigkeit von c aus.
Eine Nullstelle sieht man sofort, die anderen beiden bekommt man durch Lösen einer quadratischen Gleichung ( die Diskriminante ist [mm] (c-1)^2 [/mm] also nie negativ).
(Als Nullstellen habe ich 0 und 1 für den Fall Diskriminante = 0 und 0, 1 und c für den Fall Diskriminante > 0 errechnet).
Jetzt kannst Du Frage b) beantworten, wann sind 0, 1, und c von einander verschieden?
Frage c) läßt sich auch beantworten, da immer 0 und 1 als zwei verschiedene Nullstellen auftreten, ist klar was man bei c) antworten muß.
Bleibt noch Frage a).
Die x-Achse ist Tangente, wenn es einen Punkt auf der Funktionsgraphen gibt, der auf der x-Achse liegt (d.h. es muß sich also um eine Nullstelle handeln) und in dem die Ableitung von f Null ist.
Du mußt also in den drei mögichen Nullstellen die Ableitung ausrechnen.
(Da habe ich c, 1-c und [mm] c^2-c [/mm] für x = 0, 1 und c bekommen).
Jetzt kannst Du entscheiden, für welche Werte von c in einer Nullstelle die Ableitung ebenfalls Null ist.
(Man könnte die Frage a) auch so stellen: Für welche Werte von c hat f eine mindestens doppelte Nullstelle?)
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wie kommt man denn auf die diskriminante [mm] (c-1)^2?
[/mm]
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Hallo Richard,
na, wie schon? Ausrechnen 
[mm] $x^3-(c+1)x^2+cx=0\gdw x(x^2-(c+1)x+c)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x=0\vee x^2-(c+1)x+c=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x=0\vee x=\frac{c+1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{c+1}{2}\right)^2-c}$
[/mm]
Die Diskriminante kannst du vereinfachen:
[mm] $\left(\frac{c+1}{2}\right)^2-c=\frac{c^2+2c+1}{4}-\frac{4c}{4}=\frac{c^2-2c+1}{4}=\frac{(c-1)^2}{4}$
[/mm]
Für die weitere Betrachtung der Diskriminante spielt nun nur der Zähler eine Rolle, also [mm] $D=(c-1)^2$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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