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Funktion als Potenzreihe entw.: Vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Do 03.11.2011
Autor: Limaros

Aufgabe
Geben Sie für die Funktion f(x)= [mm] \frac{x}{1+x^2} [/mm] eine Potenzreihenentwicklung für [mm] x_0 [/mm] = 0.

Hallo,
ich habe im Rahmen der Lösung von Differentialgleichungen mit Potenzreihenansätzen noch ein paar solche Funktionen als Potenzreihen zu entwickeln. Aber wenn ich es mit einer verstanden habe, kriege ich den Rest vielleicht alleine hin. Also die Frage: Wie mache ich aus f eine Potenzreihe? (Es wäre schön, wenn dabei auch die prinzipielle Vorgehensweise mir klar werden würde, weil ich's gerne verstehen würde und weil noch ein paar andere Funktionen zu behandeln sind...)

Danke, Limaros

        
Bezug
Funktion als Potenzreihe entw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Do 03.11.2011
Autor: donquijote


> Geben Sie für die Funktion f(x)= [mm]\frac{x}{1+x^2}[/mm] eine
> Potenzreihenentwicklung für [mm]x_0[/mm] = 0.
>  Hallo,
>  ich habe im Rahmen der Lösung von Differentialgleichungen
> mit Potenzreihenansätzen noch ein paar solche Funktionen
> als Potenzreihen zu entwickeln. Aber wenn ich es mit einer
> verstanden habe, kriege ich den Rest vielleicht alleine
> hin. Also die Frage: Wie mache ich aus f eine Potenzreihe?
> (Es wäre schön, wenn dabei auch die prinzipielle
> Vorgehensweise mir klar werden würde, weil ich's gerne
> verstehen würde und weil noch ein paar andere Funktionen
> zu behandeln sind...)
>  
> Danke, Limaros

Der allgemeine Ansatz ist die Taylorreihe
[mm] f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)+f''(x_0)*(x-x_0)^2/2+... [/mm]
In einigen Fällen lässt sich die Bestimmung der Ableitungen umgehen, wenn man das Problem auf eine schon bekannte Potenzreihe zurückführen kann, so im obigen Beispiel:
[mm] f(x)=x*\frac{1}{1-(-x^2)}, [/mm] was auf eine geometrische Reihe [mm] \sum q^n [/mm] mit [mm] q=-x^2 [/mm] führt.

Bezug
                
Bezug
Funktion als Potenzreihe entw.: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Fr 04.11.2011
Autor: Limaros

Hallo,

ja, danke, das hat geholfen, insbesondere das mit der geometrischen Reihe hatte ich nicht gesehen.



Bezug
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