Funktion als Summe schreiben < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion [mm]f:\IR^n\to\IR[/mm] sei stetig differenzierbar mit [mm]f(0)=0[/mm]. Beweisen Sie, dass es dann stetige Funktionen [mm]g_i:\IR^n\to\IR[/mm] gibt ([mm]1\le i\le n[/mm]), so dass
[mm]f(x)=\summe_{i=1}^{n}x_ig_i(x)[/mm].
Hinweis: Mit [mm]h_x(t)=f(tx)[/mm] gilt [mm]f(x)=\integral_{0}^{1}{h'_x(t) dt}[/mm]. |
Das Thema in Analysis 2 ist gerade Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher. Ich muss nun angegebene Aufgabe lösen.
Den Hinweis verstehe ich (habe ich auch nachgerechnet). Ich habe aber leider gar keine Idee, wie ich zeigen kann, dass f als so eine Summe dargestellt werden kann. Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=169666&start=0&lps=1250525#v1250525
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion [mm]f:\IR^n\to\IR[/mm] sei stetig differenzierbar mit
> [mm]f(0)=0[/mm]. Beweisen Sie, dass es dann stetige Funktionen
> [mm]g_i:\IR^n\to\IR[/mm] gibt ([mm]1\le i\le n[/mm]), so dass
> [mm]f(x)=\summe_{i=1}^{n}x_ig_i(x)[/mm].
> Hinweis: Mit [mm]h_x(t)=f(tx)[/mm] gilt
> [mm]f(x)=\integral_{0}^{1}{h'_x(t) dt}[/mm].
> Das Thema in Analysis
> 2 ist gerade Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher.
> Ich muss nun angegebene Aufgabe lösen.
>
> Den Hinweis verstehe ich (habe ich auch nachgerechnet). Ich
> habe aber leider gar keine Idee, wie ich zeigen kann, dass
> f als so eine Summe dargestellt werden kann. Kann mir
> jemand weiterhelfen?
Du sollst also zeigen, dass es eine stetige Funktion [mm] g:\IR^n \to \IR^n [/mm] gibt mit
$f(x)=x*g(x)$
Es ist [mm] $h_x'(t)= [/mm] f'(tx)*x$. Somit ist
[mm] $f(x)=x*\integral_{0}^{1}{f'(tx) dt}
[/mm]
Setze also [mm] g(x):=\integral_{0}^{1}{f'(tx) dt}.
[/mm]
zeigen mußt Du noch, dass g stetig ist.
FRED
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=169666&start=0&lps=1250525#v1250525
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort.
Da f stetig differenzierbar ist, ist auch jede parteille Ableitung stetig (nach Definition). Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass die Integrale davon (nach t integriert), also meine Funktion g, stetig sind?
|
|
|
| |
|
Hallo,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach, Stichwort Stetigkeit von Parameterintegralen.
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei K eine abgeschlossene Kugel um 0, K [mm] \subseteq \IR^n.
[/mm]
Definiere w(t,x):=f'(tx) für (t,x) [mm] \in [/mm] [0,1]xK
w ist auf der kompakten Menge [0,1]xK stetig, also ist w dort gleichmäßig stetig.
Zeige damit, dass g auf K gleichmäßig stetig ist.
FRED
|
|
|
|
