Funktion beschränkt / stetig < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte die Funktion
f : [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] , f(x,y,z) := 1+x+yz
auf Stetigkeit und Beschränktheit untersuchen.
Die Funktion ist stetig, da die Komponentenfunktionen von
f stetig sind (Identität x und Identität y, konstante Funktion 1).
Die Funktion ist nicht beschränkt. Denn ist K > 0
beliebig, so gilt |f(K,0,0)| = |1+K+0| = K+ 1 > K
Ist das so richtig?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 14.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Fred,
super. Danke!
Gruß,
Anna
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Hallo,
noch einmal eine andere Funktion.
f : D [mm] \to \IR [/mm] , f(x,y,z) := 2 - [mm] x^2 -y^2 -z^2
[/mm]
für [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in [/mm] D mit
D := { [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 \le [/mm] 2}
Diese Funktion ist doch nicht beschränkt. Denn es gilt immer
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 \le [/mm] 2 und somit
f(x,y,z) [mm] \ge [/mm] 0
für alle [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in [/mm] D
Ist diese Begründung so korrekt und in Ordnung?
Danke,
Anna
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Hallo Anna
> f : D [mm]\to \IR[/mm] , f(x,y,z) := 2 - [mm]x^2 -y^2 -z^2[/mm]
> für [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in[/mm] D mit
> D := [mm]\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3[/mm] | [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2 \le 2\}[/mm]
>
> Diese Funktion ist doch nicht beschränkt.
???
> Denn es gilt immer [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2 \le[/mm] 2 und somit
> f(x,y,z) [mm]\ge[/mm] 0
> für alle [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in[/mm] D
>
> Ist diese Begründung so korrekt und in Ordnung?
Weil [mm] 0\le [/mm] f(x,y,z) [mm] \le [/mm] 2 für alle (x,y,z) [mm] \in [/mm] D , ist diese Funktion beschränkt !
LG
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Hallo Al-Chwarizmi,
> > f : D [mm]\to \IR[/mm] , f(x,y,z) := 2 - [mm]x^2 -y^2 -z^2[/mm]
> > für
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in[/mm] D mit
> > D := [mm]\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3[/mm] | [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2 \le 2\}[/mm]
> Weil [mm]0\le[/mm] f(x,y,z) [mm]\le[/mm] 2 für alle (x,y,z) [mm]\in[/mm] D , ist
> diese Funktion beschränkt !
Ach stimmt. Irgendwie habe ich da wohl was falsch gelesen bzgl. + und -.
Denn für alle (x,y,z) [mm] \in [/mm] D gilt
|f(x,y,z)| = |2 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2| \le [/mm] 2 (da [mm] x^2, y^2, z^2 [/mm] immer positiv sind)
Und da der Betrag immer [mm] \ge [/mm] 0 gilt
0 [mm] \le [/mm] 2 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2 \le [/mm] 2
Und somit ist gezeigt, dass f beschränkt ist.
Wäre diese Begründung formal in Ordnung / ausreichend?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mo 14.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Anna,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
>
> > > f : D [mm]\to \IR[/mm] , f(x,y,z) := 2 - [mm]x^2 -y^2 -z^2[/mm]
> > >
> für
> > [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in[/mm] D mit
> > > D := [mm]\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3[/mm] | [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] +
> [mm]z^2 \le 2\}[/mm]
>
> > Weil [mm]0\le[/mm] f(x,y,z) [mm]\le[/mm] 2 für alle (x,y,z) [mm]\in[/mm] D , ist
> > diese Funktion beschränkt !
>
> Ach stimmt. Irgendwie habe ich da wohl was falsch gelesen
> bzgl. + und -.
> Denn für alle (x,y,z) [mm]\in[/mm] D gilt
> |f(x,y,z)| = |2 - [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] - [mm]z^2| \le[/mm] 2 (da [mm]x^2, y^2, z^2[/mm]
> immer positiv sind)
mmh - das steht doch da gar nicht, oder ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
es ist doch [mm] $x^2+y^2+z^2\le [/mm] 2$ und dass somit [mm] $|2-x^2-y^2-z^2|\le2$ [/mm] gilt, folgt erst daraus.
Grüße
Smarty
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Hallo Smarty,
> > > > f : D [mm]\to \IR[/mm] , f(x,y,z) := 2 - [mm]x^2 -y^2 -z^2[/mm]
> > >
> >
> > für
> > > [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in[/mm] D mit
> > > > D := [mm]\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3[/mm] | [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
> +
> > [mm]z^2 \le 2\}[/mm]
> >
> > > Weil [mm]0\le[/mm] f(x,y,z) [mm]\le[/mm] 2 für alle (x,y,z) [mm]\in[/mm] D , ist
> > > diese Funktion beschränkt !
> >
> > Ach stimmt. Irgendwie habe ich da wohl was falsch gelesen
> > bzgl. + und -.
> > Denn für alle (x,y,z) [mm]\in[/mm] D gilt
> > |f(x,y,z)| = |2 - [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] - [mm]z^2| \le[/mm] 2 (da [mm]x^2, y^2, z^2[/mm]
> > immer positiv sind)
>
> mmh - das steht doch da gar nicht, oder
>
> es ist doch [mm]x^2+y^2+z^2\le 2[/mm] und dass somit
> [mm]|2-x^2-y^2-z^2|\le2[/mm] gilt, folgt erst daraus.
Ja stimmt, es folgt daraus. Aber es ist doch auch so, dass für jedes x [mm] \in \IR [/mm] gilt,
dass [mm] x^2 \ge [/mm] 0 ist. Folglich wäre doch schon allein deswegen [mm] \le [/mm] 2 gezeigt, oder? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 14.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo,
> > >
> > > Ach stimmt. Irgendwie habe ich da wohl was falsch gelesen
> > > bzgl. + und -.
> > > Denn für alle (x,y,z) [mm]\in[/mm] D gilt
> > > |f(x,y,z)| = |2 - [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] - [mm]z^2| \le[/mm] 2 (da [mm]x^2, y^2, z^2[/mm]
> > > immer positiv sind)
> >
> > mmh - das steht doch da gar nicht, oder
> >
> > es ist doch [mm]x^2+y^2+z^2\le 2[/mm] und dass somit
> > [mm]|2-x^2-y^2-z^2|\le2[/mm] gilt, folgt erst daraus.
>
> Ja stimmt, es folgt daraus. Aber es ist doch auch so, dass
> für jedes x [mm]\in \IR[/mm] gilt,
> dass [mm]x^2 \ge[/mm] 0 ist. Folglich wäre doch schon allein
> deswegen [mm]\le[/mm] 2 gezeigt, oder?
ich bin jetzt mal kleinlich und zerlege deine Aussage:
> Ja stimmt, es folgt daraus. Aber es ist doch auch so, dass
> für jedes x [mm]\in \IR[/mm] gilt,
> dass [mm]x^2 \ge[/mm] 0 ist.
das ist richtig, aber ist denn x=-5 zulässig? Nein, denn es würde gegen die Bedingung D:=... verstoßen. Du musst zunächst die Bedingung ins Spiel bringen und dann mit: "also ..." folgern.
> Folglich wäre doch schon allein
> deswegen [mm]\le[/mm] 2 gezeigt, oder?
[mm] 2-x^2=2-25 [/mm] ist zwar kleiner gleich 2, aber nicht größer als 0, was ja ebenso Bedingung ist.
Und dass ich x=-5 nicht nehmen darf, wird bei deiner Aussage nicht herausgestellt.
Grüße
Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Smarty,
ok, ich sehe es ein. Nur so kann man es korrekt zeigen.
Danke,
Anna
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Hallo,
f : D [mm]\to \IR[/mm] , f(x,y,z) := 2 - [mm]x^2 -y^2 -z^2[/mm]
für
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in [/mm] D mit
D := [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3 | x^2 + y^2 + z^2 \le 2\}
[/mm]
Jetzt möchte ich gerne auch noch untersuchen, ob f stetig ist oder nicht.
Ich denke f ist stetig, aber ich weiß gerade nicht, wie ich das zeige.
Folgenkriterium, [mm] \varepsilon -\delta-Kriterium? [/mm]
Danke für Tipps,
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mo 14.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Funktionen
(x,y,z)---> x²,
(x,y,z)---> y²
und
(x,y,z)---> z²
sind stetig.
FRED
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Hallo Fred,
ja, so dachte ich auch zuerst anzusetzen.
Die konstante Funktion 2 ist auch stetig.
Aber die Subtraktion irritiert mich?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 14.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Was weisst du denn über die Addition stetige Funktionen?
Und was Passiert, wenn du eine stetige Funktion "spiegelst", also mit -1 multiplizierst?
Das das nichts an der Stetigkeit ändert kannst du auch relativ schnell zeigen. Nimm mal an, f(x) sei stetig, und führe dann die Annahme -f(x) sei nicht stetig zum Widerspruch.
Marius
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Hallo Marius,
> Was weisst du denn über die Addition stetige Funktionen?
Ich weiß, dass die Summe stetiger Funktionen wieder
eine stetige Funktion ergibt.
> Und was Passiert, wenn du eine stetige Funktion
> "spiegelst", also mit -1 multiplizierst?
> Das das nichts an der Stetigkeit ändert kannst du auch
> relativ schnell zeigen. Nimm mal an, f(x) sei stetig, und
> führe dann die Annahme -f(x) sei nicht stetig zum
> Widerspruch.
Ok, das leuchtet mir ein.
Also ist das eigentlich generell bekannt, dass die Differenz
stetiger Funktionen auch eine stetige Funktion ergibt.
Denn man weiß ja, dass die Multiplikation stetiger Funktionen
ebenfalls eine stetige Funktion ergibt. Und
f + g | * -1
= -f -g
Und in meinem Fall
f(x,y,z) = 2 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 -z^2 [/mm] |*-1
= -2 + [mm] x^2 +y^2 +z^2
[/mm]
Und somit (da -2, [mm] x^2, y^2, z^2 [/mm] stetig sind)
ist auch f stetig.
Richtig?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 14.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius,
>
> > Was weisst du denn über die Addition stetige Funktionen?
>
> Ich weiß, dass die Summe stetiger Funktionen wieder
> eine stetige Funktion ergibt.
>
> > Und was Passiert, wenn du eine stetige Funktion
> > "spiegelst", also mit -1 multiplizierst?
> > Das das nichts an der Stetigkeit ändert kannst du auch
> > relativ schnell zeigen. Nimm mal an, f(x) sei stetig, und
> > führe dann die Annahme -f(x) sei nicht stetig zum
> > Widerspruch.
>
> Ok, das leuchtet mir ein.
> Also ist das eigentlich generell bekannt, dass die
> Differenz
> stetiger Funktionen auch eine stetige Funktion ergibt.
Yep, das ist es.
> Denn man weiß ja, dass die Multiplikation stetiger
> Funktionen
> ebenfalls eine stetige Funktion ergibt. Und
> f + g | * -1
> = -f -g
Auch das ist korrekt, ich wusste nur nicht, ob es da einen Satz zu gibt bzw, ob ihr den schon behandelt habt?
>
> Und in meinem Fall
> f(x,y,z) = 2 - [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2 -z^2[/mm] |*-1
> = -2 + [mm]x^2 +y^2 +z^2[/mm]
>
> Und somit (da -2, [mm]x^2, y^2, z^2[/mm] stetig sind)
> ist auch f stetig.
>
> Richtig?
>
> Danke,
> Anna
Korrekt. Wenn ihr in der Vorlesung den Satz mit der Addition stetiger Funktionen auch auf die Differenz "erweitert" habt, ist das Multiplizieren mit -1 sogar zu viel.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Marius,
> > Denn man weiß ja, dass die Multiplikation stetiger
> > Funktionen
> > ebenfalls eine stetige Funktion ergibt. Und
> > f + g | * -1
> > = -f -g
>
> Auch das ist korrekt, ich wusste nur nicht, ob es da einen
> Satz zu gibt bzw, ob ihr den schon behandelt habt?
Ja, Multiplikation hatten wir.
> > Und in meinem Fall
> > f(x,y,z) = 2 - [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2 -z^2[/mm] |*-1
> > = -2 + [mm]x^2 +y^2 +z^2[/mm]
> >
> > Und somit (da -2, [mm]x^2, y^2, z^2[/mm] stetig sind)
> > ist auch f stetig.
> >
> > Richtig?
> Korrekt. Wenn ihr in der Vorlesung den Satz mit der
> Addition stetiger Funktionen auch auf die Differenz
> "erweitert" habt, ist das Multiplizieren mit -1 sogar zu
> viel.
Nein, dass wir das auch auf die Differenz erweitert
haben, daran kann ich mich nicht erinnern. Gut,
aber so geht es ja auch 
Danke,
Anna
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Hallo,
nur um sicherer zu werden:
f : [mm] \IR^2 \to I\R^2
[/mm]
f(x,y) := [mm] \begin{cases} \vektor{3 \\ \bruch{y}{|y|}}, & \mbox{falls } y \not= 0 \\ \vektor{3 \\ 0}, & \mbox{falls } y=0 \end{cases}
[/mm]
f ist beschränkt, denn
für alle [mm] \vektor{x \\ y}\in \IR^2 \backslash \{ \vektor{x \\ 0} | x\in \IR }
[/mm]
gilt
[mm] |f(x,y)|=\vektor{3 \\ \bruch{y}{|y|}} \le \vektor{3 \\ 1} [/mm]
und für alle [mm] \vektor{x \\ 0} \in \IR^2 [/mm] gilt
[mm] |f(x,0)|=\vektor{3 \\ 0}
[/mm]
Also ist f beschränkt mit [mm] ||f||_{\IR^2} \le \vektor{3 \\ 1}
[/mm]
Richtig?
f ist aber nicht stetig.
Denn f nimmt ja praktisch lediglich die drei Werte
[mm] \vektor{3 \\ 1}, \vektor{3 \\ -1} [/mm] oder [mm] \vektor{3 \\ 0}
[/mm]
an.
Aber wie zeige ich das nun mathematisch korrekt?
Vielleicht mit
[mm] f(0,\bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1} \not= \vektor{3 \\ 0}=f(0,0) [/mm] für k [mm] \to \infty [/mm] (Folgenkriterium)
Gruß,
Anna
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> Hallo,
>
> nur um sicherer zu werden:
> f : [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
> f(x,y) := [mm]\begin{cases} \vektor{3 \\ \bruch{y}{|y|}}, & \mbox{falls } y \not= 0 \\ \vektor{3 \\ 0}, & \mbox{falls } y=0 \end{cases}[/mm]
>
> f ist beschränkt, denn
> für alle [mm]\vektor{x \\ y}\in \IR^2 \backslash \{ \vektor{x \\ 0} | x\in \IR }[/mm]
>
> gilt
> [mm]|f(x,y)|=\vektor{3 \\ \bruch{y}{|y|}} \le \vektor{3 \\ 1}[/mm]
hier wären rechts auch Beträge nötig:
[mm]|f(x,y)|=\left| \vektor{3 \\ \bruch{y}{|y|}} \right| \le \left|\vektor{3 \\ 1}\right|[/mm][mm] =\wurzel{10}
[/mm]
>
> und für alle [mm]\vektor{x \\ 0} \in \IR^2[/mm] gilt
> [mm]|f(x,0)|=\vektor{3 \\ 0}[/mm]
ebenso: Betrag ! [mm]|f(x,0)|=\left| \vektor{3 \\ 0}\right|\ =\ 3[/mm]
> Also ist f beschränkt mit
> [mm]||f||_{\IR^2} \le \vektor{3 \\ 1}[/mm]
dito: [mm]||f||_{\IR^2} \le \left| \vektor{3 \\ 1}\right|\ =\ \wurzel{10} [/mm]
>
> Richtig?
>
> f ist aber nicht stetig.
f ist zwar weitgehend, aber eben nicht überall stetig
> Denn f nimmt ja praktisch lediglich die drei Werte
> [mm]\vektor{3 \\ 1}, \vektor{3 \\ -1}[/mm] oder [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm]
>
> an.
> Aber wie zeige ich das nun mathematisch korrekt?
Die "Sprünge" der Funktionswerte erfolgen da, wo y das Vorzeichen
wechselt, also bei der Überquerung der x-Achse. Ist [mm] P(x_0/0) [/mm] irgendein
Punkt auf der x-Achse, so gibt es in jeder noch so kleinen Umgebung
von [mm] P_0 [/mm] Punkte, deren Funktionswerte sich in der zweiten Komponente
um 1 vom Funktionswert in [mm] P_0 [/mm] unterscheiden.
schönen Abend noch !
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Hallo Al-Chwarizmi,
> hier wären rechts auch Beträge nötig:
>
> [mm]|f(x,y)|=\left| \vektor{3 \\ \bruch{y}{|y|}} \right| \le \left|\vektor{3 \\ 1}\right|[/mm][mm] =\wurzel{10}[/mm]
Stimmt, die Betragsstriche hatte ich vergessen.
Wie kommst Du auf [mm] \wurzel{10}?
[/mm]
> > f ist aber nicht stetig.
>
> f ist zwar weitgehend, aber eben nicht überall stetig
>
> > Denn f nimmt ja praktisch lediglich die drei Werte
> > [mm]\vektor{3 \\ 1}, \vektor{3 \\ -1}[/mm] oder [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > an.
> > Aber wie zeige ich das nun mathematisch korrekt?
>
> Die "Sprünge" der Funktionswerte erfolgen da, wo y das
> Vorzeichen
> wechselt, also bei der Überquerung der x-Achse.
> Ist [mm]P(x_0/0)[/mm] irgendein
> Punkt auf der x-Achse, so gibt es in jeder noch
> so kleinen Umgebung
> von [mm]P_0[/mm] Punkte, deren Funktionswerte sich in der
> zweiten Komponente
> um 1 vom Funktionswert in [mm]P_0[/mm] unterscheiden.
OK. Leuchtet mir ein. Wäre eigentlich meine Begründung mit dem
Folgenkriterium falsch?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Di 15.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> > hier wären rechts auch Beträge nötig:
> >
> > [mm]|f(x,y)|=\left| \vektor{3 \\ \bruch{y}{|y|}} \right| \le \left|\vektor{3 \\ 1}\right|[/mm][mm] =\wurzel{10}[/mm]
>
> Stimmt, die Betragsstriche hatte ich vergessen.
> Wie kommst Du auf [mm]\wurzel{10}?[/mm]
[mm] \left|\vektor{3 \\ 1}\right| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10} [/mm]
>
>
> > > f ist aber nicht stetig.
> >
> > f ist zwar weitgehend, aber eben nicht überall stetig
> >
> > > Denn f nimmt ja praktisch lediglich die drei Werte
> > > [mm]\vektor{3 \\ 1}, \vektor{3 \\ -1}[/mm] oder [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > an.
> > > Aber wie zeige ich das nun mathematisch korrekt?
> >
> > Die "Sprünge" der Funktionswerte erfolgen da, wo y das
> > Vorzeichen
> > wechselt, also bei der Überquerung der
> x-Achse.
> > Ist [mm]P(x_0/0)[/mm] irgendein
> > Punkt auf der x-Achse, so gibt es in jeder
> noch
> > so kleinen Umgebung
> > von [mm]P_0[/mm] Punkte, deren Funktionswerte sich in
> der
> > zweiten Komponente
> > um 1 vom Funktionswert in [mm]P_0[/mm] unterscheiden.
>
> OK. Leuchtet mir ein. Wäre eigentlich meine Begründung mit
> dem
> Folgenkriterium falsch?
Nein, die Begründung ist in Ordnung. Wäre die Funktion stetig, so müsste für jede Folge [mm] $y_n\to [/mm] 0$ gelten:
[mm] f(0,y_n) \to f(0,0) [/mm]
was, wie du ganz richtig schriebst, eindeutig nicht der Fall ist. Ein Gegenbeispiel reicht.
(Umgekehrt würde das Argument zum Beweis der Stetigkeit nicht reichen, denn dann müsstest du es für alle möglichen Folgen nachweisen, nicht nur für eine.)
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Di 15.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Rainer,
super. Danke!!
Gruß,
Anna
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