Funktion differenzierbar < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | 1) Ist die Funktion " g(x) = x mal sgn (x-1) differenzierbar? |
| Aufgabe 2 | 2) Wann ist denn jetzt eine Funktion differenzierbar? allgemein
weil z.b. wenn man die Fallunterscheidung macht, also r-lim und l-lim, und zwei gleiche Ergebnisse rauskommen, wie ist das dann? |
zu 1)
x mal sgn (x-1) dazu: x für x > 0
0 für x = 0
-x für x < 0
r-lim =
l-lim =
hier komm ich irgendwie nicht mehr weiter, eigentlich weiß ich garnicht wie ich die Aufgabe angehen soll.
Hoffe ihr könntet mir das mal kurz erklären, wie man eine solche Aufgabe löst.
danke...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Nightwalker,
> 1) Ist die Funktion [mm] $g(x)=x\cdot\operatorname{sgn}{(x-1)}$ [/mm] differenzierbar?
Hast du dir $g(x)$ schon einmal aufgezeichnet oder vom Computer plotten lassen? - eine Skizze hilft meistens weiter... 
Du hättest dann nämlich gesehen, dass $g(x)$ an der Stelle [mm] $x_{0}=1$ [/mm] einen Sprung hat. D.h. $g(x)$ ist in $1$ nicht stetig. Also ist $g(x)$ in $1$ auch nicht differenzierbar.
Du erinnerst dich vielleicht: Jede differenzierbare Funktion ist stetig (umgekehrt gilt das natürlich nicht!). Das heißt mit anderen Worten: Eine Funktion, die nicht stetig ist, kann auch nicht differenzierbar sein.
Das kannst du bei 1. benutzen: Um zu zeigen, dass $g(x)$ an der Stelle $1$ nicht differenzierbar (und damit $g$ nicht überall differenzierbar) ist, genügt es zu zeigen, dass $g(x)$ an der Stelle $1$ nicht stetig ist.
Für diese Aufgabe brauchst du die Differenzierbarkeit also gar nicht zu überprüfen!
Wann ist eine Funktion $f(x)$ stetig an der Stelle [mm] $x_{0}$ [/mm] ?
Genau dann, wenn [mm] $\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$, [/mm] d.h. der Grenzwert (und das heißt beide Grenzwerte, der links- und auch der rechtsseitige!) muss gleich dem Funktionswert sein.
Versuch doch hier mal zu zeigen, dass der links- und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle [mm] $x_{0}=1$ [/mm] nicht übereinstimmen!
> 2) Wann ist eine Funktion differenzierbar?
Eine Funktion $f(x)$ ist differenzierbar in [mm] $x_{0}$, [/mm] wenn [mm] $\lim_{x\to x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ [/mm] existiert, d.h. dass der linksseitige Grenzwert [mm] $\lim_{x\uparrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ [/mm] existiert und gleich dem rechtsseitigen Grenzwert [mm] $\lim_{x\downarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ [/mm] ist.
Schau dir mal folgende zwei Beispiele (sozusagen als Musterbeweis) an:
Ich möchte zeigen, dass $f(x)=x$ an der Stelle [mm] $x_{0}=0$ [/mm] differenzierbar ist.
Ich berechne zuerst den linksseitigen Grenzwert:
[mm] $\lim_{x\uparrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\uparrow 0}\bruch{x}{x}=1$.
[/mm]
Der rechtsseitige Grenzwert ist: [mm] $\lim_{x\downarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\downarrow 0}\bruch{x}{x}=1$.
[/mm]
Der links- und der rechtsseitige Grenzwert sind also gleich, d.h.
$f(x)=x$ ist an der Stelle [mm] $x_{0}=0$ [/mm] differenzierbar.
Etwas anders sieht es bei diesem Beispiel aus:
Ich möchte zeigen, dass $f(x)= |x |$ an der Stelle [mm] $x_{0}=0$ [/mm] nicht differenzierbar ist. Ich berechne zuerst den linksseitigen Grenzwert:
[mm] $\lim_{x\uparrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\uparrow 0}\bruch{ |x |}{x}=-1$,
[/mm]
denn ich nähere mich von unten, d.h. $x<0$ und damit [mm] $\bruch{ |x |}{x}=-1$.
[/mm]
Der rechtsseitige Grenzwert ist: [mm] $\lim_{x\downarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\downarrow 0}\bruch{ |x |}{x}=1$,
[/mm]
denn ich nähere mich von oben, d.h. $x>0$ und damit [mm] $\bruch{ |x |}{x}=1$.
[/mm]
Der links- und der rechtsseitige Grenzwert sind also verschieden, d.h.
$f(x)= |x |$ ist an der Stelle [mm] $x_{0}=0$ [/mm] nicht differenzierbar.
Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen weiter. Falls dir etwas unklar ist, dann frag bitte nochmal nach, ok?
MFG,
Yuma
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Hallo,
habe jetzt eine Frage, ist die Funktion g (x) = x mal H(x) differenzierbar? |
Mein Ansatz:
r- [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x}{x} [/mm] = 1
l- [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{0}{x} [/mm] = 0
d.h. g ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar da rechter und linker Grenzwert nicht gleich sind
aber in der Schule haben wir gesagt, dass es an der Stelle null diff'bar wäre,
aber g'(0) nicht existiert??? Woran erkennt man das denn?
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen?
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Di 28.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Nightwalker,
> habe jetzt eine Frage, ist die Funktion g (x) = x mal H(x)
> differenzierbar?
Rückfrage: Was ist $H(x)$ ? Ist das die Heaviside-Funktion, die folgendermaßen definiert ist: [mm] $H(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x\le 0 \end{cases}$
[/mm]
> Mein Ansatz:
> r- [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x}{x}[/mm] = 1
> l- [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{0}{x}[/mm] = 0
Schreibe mal etwas formaler, dann sieht man schneller, was du meinst:
Der rechtseitige Grenzwert [mm] $\lim_{x\downarrow 0}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\downarrow 0}\bruch{x}{x}=1$ [/mm] ist richtig!
Der linksseitige Grenzwert [mm] $\lim_{x\uparrow 0}\bruch{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\uparrow 0}\bruch{0}{x}=0$ [/mm] ist auch richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> d.h. g ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar da rechter
> und linker Grenzwert nicht gleich sind
Richtig! 
> aber in der Schule haben wir gesagt, dass es an der Stelle
> null diff'bar wäre,
> aber g'(0) nicht existiert??? Woran erkennt man das denn?
Da musst du etwas falsch verstanden haben, denn wenn $g'(0)$ nicht existiert, dann heißt das ja gerade, dass $g$ an der Stelle $x=0$ nicht differenzierbar ist.
Vielleicht habt ihr in der Schule festgestellt, dass $g$ an der Stelle $x=0$ stetig ist. Den "Unterschied" zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit habe ich dir ja in der obigen Antwort schon einmal erläutert.
Noch eine letzte Anmerkung:
Es wäre schön gewesen, wenn du auf meine erste Antwort irgendwie reagiert hättest. Also entweder so: "Ich hab's kapiert!", oder so: "Von deinem Geschwätz habe ich kein Wort verstanden!".
Wenn aber der Fragesteller überhaupt nicht reagiert, kommt man sich ziemlich vera***** vor...
MFG,
Yuma
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Hallo,
habs jetzt hoffentlich verstanden, daher wollte ich das mal testen
-> |x³ + 1 | Stelle -1 |
Mein Ansatz:
|x³+1 | = x³ + 1 für x>0
-x³ - 1 für x<0
= r- [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} [/mm] = [mm] \bruch{x³+1}{x+1} [/mm] = 2
= l - [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} [/mm] = [mm] \bruch{-x³-1}{x+1}= [/mm] 0
f ist an der Stelle -1 nicht differenzierbar d.h. f' (-1) existiert nicht
ist das so richtig?
auf jeden Fall vielen Dank...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nightwalker!
Der letzte Schluss mit "nicht differenzierbar" ist richtig. Auf dem Weg dahin sind Dir aber so einige Fehler unterlaufen:
> Mein Ansatz:
>
> |x³+1 | = x³ + 1 für x>0
> -x³ - 1 für x<0
[mm] {\left|x^3+1\right| \ = \ \begin{cases} x^3+1, & \mbox{für } x \ \red{\ge \ -1} \mbox{} \\ -x^3-1, & \mbox{für } x \ < \ \red{-1} \mbox{ } \end{cases}}
[/mm]
> = r- [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}[/mm] = [mm]\bruch{x³+1}{x+1}[/mm] = 2
>
> = l - [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}[/mm] = [mm]\bruch{-x³-1}{x+1}=[/mm] 0
Wie kommst Du auf diese Grenzwerte bzw. diese Ergebnisse? Ich erhalte hier $+3_$ bzw. $-3_$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo, danke zuerstmal...
also ich habe so gerechnet.
x³ : x = x² und 1:1 = 1
dann eingesetzt (-1) , dann -1² + 1 = 2
und beim anderen ebenfalls, nur halt -1² - 1 = 0
ist das so richtig, oder habe ich da was falsch gemacht?
danke...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nightwalker!
Du musst hier jeweils eine  Polynomdivision durchführen. Da stimmt Deine Rechnung leider nicht.
Als Ergebnis muss dann auch ein linearer Anteil herauskommen:
[mm] $x^2-x+1$ [/mm] bzw. [mm] $-x^2+x-1$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
|
