Funktion einer Funktionsschar < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht ist eine Funktion aus der Funktionsschar [mm] f_{k} [/mm] deren Graph mit der 1. Achse eine Fläche vom Inhalt A einschließt. Bestimme k.
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Die Funktion lautet: [mm] f(x)=2x^{2}-k. [/mm] Die Fläche soll folgenden Inhalt haben:
A =3
Ich habe zunächst die Nullstellen berechnet:
[mm] f(x)=2x^{2}-k [/mm] |:2
[mm] f(x)=x^{2}-\bruch{k}{2}
[/mm]
PQ-Formel: [mm] (P=\bruch{k}{2},Q=0)
[/mm]
[mm] \bruch{k}{4}\pm\wurzel{\bruch{k^{2}}{4^{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{k}{4}\pm\bruch{k}{4}
[/mm]
Somit hab ich die Nullstellen [mm] x_{1}= [/mm] 0 [mm] x_{2}=\bruch{1}{2}k
[/mm]
Dann stelle ich die Stammfunktion auf: F(x)= [mm] \left[ \bruch{2}{3}x^{3}-kx \right]_0^\bruch{1k}{2}
[/mm]
Da der Flächeninhalt 3 betragen soll, setze ich sie mit 3 gleich:
F(x)= [mm] \left[ \bruch{2}{3}x^{3}-kx \right]_0^\bruch{1k}{2}=3
[/mm]
Dann setze ich die Grenzen ein ( Null setz ich nicht ein, da es nichts ändern würde)
[mm] \bruch{2}{3}\*\left( \bruch{1}{2}k \right)^{3}-k\*\left( \bruch{1}{2}k \right)=3 [/mm]
[mm] \bruch{2k^{3}}{24}-\bruch{k^{2}}{2}=3 [/mm] | [mm] \*2
[/mm]
[mm] \bruch{4k^{3}}{24}-k^{2}=6 [/mm] | [mm] \*24
[/mm]
[mm] 4k^{3}-24k^{2}=144 [/mm] |:4
[mm] k^{3}-6k^{2}=36
[/mm]
Und jez weiß ich leider nicht mehr weiter, ich hoffe mal bis hierhin is alles richtig und ihr könnt mir vielleicht weiterhelfen.
Danke schonmal Im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Di 29.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Nadine, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gesucht ist eine Funktion aus der Funktionsschar [mm]f_{k}[/mm]
> deren Graph mit der 1. Achse eine Fläche vom Inhalt A
> einschließt. Bestimme k.
>
>
> Die Funktion lautet: [mm]f(x)=2x^{2}-k.[/mm] Die Fläche soll
> folgenden Inhalt haben:
> A =3
> Ich habe zunächst die Nullstellen berechnet:
> [mm]f(x)=2x^{2}-k[/mm] |:2
> [mm]f(x)=x^{2}-\bruch{k}{2}[/mm]
> PQ-Formel: [mm](P=\bruch{k}{2},Q=0)[/mm]
Leider nicht: wenn du schon die Fomel anwenden willst, dann bitte richtig.
es gilt p = 0 und q = -0,5k
Du kannst es aber auch einfacher machen:
[mm] x^{2}-\bruch{k}{2} \Rightarrow [/mm] x² = [mm] \bruch{k}{2} \Rightarrow x_{1;2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{k}{2}}
[/mm]
> [mm]\bruch{k}{4}\pm\wurzel{\bruch{k^{2}}{4^{2}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{k}{4}\pm\bruch{k}{4}[/mm]
> Somit hab ich die Nullstellen [mm]x_{1}=[/mm] 0
> [mm]x_{2}=\bruch{1}{2}k[/mm]
>
> Dann stelle ich die Stammfunktion auf: F(x)= [mm]\left[ \bruch{2}{3}x^{3}-kx \right]_0^\bruch{1k}{2}[/mm]
Dein Ansatz ist vollkommen korrekt, nur brauchst du andere Nullstellen
Wenn du jetzt die Symmetrie des Graphen ausnutzt, erhältst du:
[mm] \integral_{-\wurzel{\bruch{k}{2}}}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}} 2x²-\bruch{k}{2} [/mm] dx = 2 * [mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}} 2x²-\bruch{k}{2} [/mm] dx.
>
> Da der Flächeninhalt 3 betragen soll, setze ich sie mit 3
> gleich:
> F(x)= [mm]\left[ \bruch{2}{3}x^{3}-kx \right]_0^\bruch{1k}{2}=3[/mm]
>
Korrekt, wie gesagt, andere Grenze
Es gilt also [mm] \[\bruch{2}{3}x^{3}-kx\]_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}} [/mm] = 3
Das ganze kannst du jetzt nach k auflösen:
Ich hoffe, ich verrechne mich jetzt nicht.
[mm] \[\bruch{2}{3}x^{3}-kx\]_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}} [/mm] = 3
[mm] \gdw \bruch{k\wurzel{k}}{12} [/mm] - [mm] \bruch{k\wurzel{k}}{2} [/mm] = 3
[mm] \gdw \bruch{k\wurzel{k}-6k\wurzel{k}}{12} [/mm] = 3
[mm] \gdw -5k\wurzel{k} [/mm] = 36
[mm] \gdw (\wurzel{k})² [/mm] = [mm] \bruch{36²}{25k²}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 25k³ = 36²
[mm] \Rightarrow [/mm] k = [mm] \wurzel[3]{\bruch{36²}{25}}
[/mm]
Wie gesagt, ohne Gewähr. Aber dein Rechenweg ist Korrekt, ausser der zugegebenermassen blöde Fehler bei der p-q Formel.
Marius
Ach ja: Lob der Form deine Artikels. Ich habe selten einen "Newbie" gesehen, der so hervorragende Artikel schreibt. Das will ich noch loswerden, das ist nämlich längst nicht die Normalität.
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Oh, das ist ja echt ein blöder Fehler von mir. *hehe*
jetzt vestehe ich nur leider nicht wie du auf folgendes kommst:(könnte daran liegen dass ich in Mathe so oder so nicht die hellste bin ^^)
> Das ganze kannst du jetzt nach k auflösen:
>
> Ich hoffe, ich verrechne mich jetzt nicht.
>
> [mm]\[\bruch{2}{3}x^{3}-kx\]_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}}[/mm] = 3
>
> [mm]\gdw \bruch{k\wurzel{k}}{12}[/mm] - [mm]\bruch{k\wurzel{k}}{2}[/mm] = 3
> [mm]\gdw\bruch{k\wurzel{k}-6k\wurzel{k}}{12}[/mm] = 3
> Ach ja: Lob der Form deine Artikels. Ich habe selten einen
> "Newbie" gesehen, der so hervorragende Artikel schreibt.
> Das will ich noch loswerden, das ist nämlich längst nicht
> die Normalität.
Danke für das Lob =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Di 29.08.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, M.Rex,
> [mm]\integral_{-\wurzel{\bruch{k}{2}}}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}} 2x²-\bruch{k}{2}[/mm] dx = 2 * [mm]\integral_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}} 2x²-\bruch{k}{2}[/mm] dx.
Alles natürlich unter der Voraussetzung, dass k > 0 ist!
(Übrigens ist das [mm] \bruch{k}{2} [/mm] im Integranden natürlich falsch!)
> >
> > Da der Flächeninhalt 3 betragen soll, setze ich sie mit 3
> > gleich:
> > F(x)= [mm]\left[ \bruch{2}{3}x^{3}-kx \right]_0^\bruch{1k}{2}=3[/mm]
>
> >
> Korrekt, wie gesagt, andere Grenze
>
> Es gilt also
> [mm]\[\bruch{2}{3}x^{3}-kx\]_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}}[/mm] = 3
Beachte aber,
- dass der Graph der gegebenen Funktion eine NACH OBEN GEÖFFNETE Parabel ist; demnach liegt die beschriebene Fläche UNTERHALB der x-Achse: Minus-Vorzeichen
- dass der Faktor 2 auf der linken Seite fehlt!
Daher kann der Rest ebenfalls nicht stimmen!
mfG!
Zwerglein
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Ich versteh jetzt leider gar nichts mehr...
Was ist falsch? und was muss ich einsetzen...blick da irgendwie nicht mehr durch =(
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Hi, möchtegerndiva,
also nochmals der Reihe nach:
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] 2x^{2} [/mm] - k
Graph: Parabel mit Scheitel bei S(0; -k) (also unterhalb der x-Achse)
und Nullstellen [mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{\bruch{k}{2}}.
[/mm]
(Natürlich k>0, da es sonst keine Nullstellen gibt und die beschriebene Fläche auch nicht!)
Stammfunktion:
F(x) = [mm] \bruch{2}{3}x^{3} [/mm] - kx.
Weil aber nun die Fläche UNTERHALB der x-Achse liegt (nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel UNTERHALB der x-Achse!!!) muss der Ansatz lauten:
2*[ [mm] \bruch{2}{3}x^{3} [/mm] - kx [mm] ]_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}} [/mm] = - 3 (Vorzeichen!!!)
oder:
[ [mm] \bruch{2}{3}x^{3} [/mm] - [mm] kx]_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}} [/mm] = - [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}*\bruch{k}{2}*\wurzel{\bruch{k}{2}} [/mm] - [mm] k*\wurzel{\bruch{k}{2}} [/mm] = - [mm] \bruch{3}{2} [/mm]
[mm] -\bruch{2}{3}*k*\wurzel{\bruch{k}{2}} [/mm] = - [mm] \bruch{3}{2} [/mm]
[mm] k*\wurzel{\bruch{k}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
Quadriert:
[mm] \bruch{k^{3}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{81}{16}
[/mm]
[mm] k^{3} [/mm] = [mm] \bruch{81}{8}
[/mm]
k = [mm] \bruch{3}{2}*\wurzel[3]{3}
[/mm]
(Aber: Keine Garantie für Rechenfehler!)
mfG!
Zwerglein
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