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Funktion f(x,y): 2 Beweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 So 22.05.2005
Autor: JenniferH

Guten Abend!

Ich bin neu in diesem Forum, habe euch durch eine Suchmaschine gefunden :-)

Bei meinem Problem geht es um 2 Beweisaufgaben. Zwar ist es für unsere Klausur vielleicht "nicht so wichtig" alle zu können, aber mich interessiert es was die Idee dahinter ist bzw. wie ich die so beweisen kann.
Vielleicht kann mir jemand wenigstens es bei einer zeigen.

Let f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] be a function defined by [mm] f(x,y)=xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}\not=(0,0), [/mm] and f(0,0)=0.

a) Show that f is continuous everywhere.
b) Show that [mm] \bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y},\bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial x}) [/mm] and [mm] \bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial y}) [/mm] exist everywhere, but [mm] \bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial x})(0,0)\not=\bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial y})(0,0). [/mm]
`
Ich bedanke mich schon mal für eure Hilfe und Versuche!!

Schönen Abend noch!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Funktion f(x,y): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:13 So 22.05.2005
Autor: Marc

Hallo,

> Ich bin neu in diesem Forum, habe euch durch eine
> Suchmaschine gefunden :-)

Nice try, but still a lie.

Bitte bleibe doch bei deinem ersten Login.

Viele Grüße,
Marc






Bezug
        
Bezug
Funktion f(x,y): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Mo 23.05.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

> Let f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] be a function defined by
> [mm]f(x,y)=xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}\not=(0,0),[/mm] and f(0,0)=0.
>  
> a) Show that f is continuous everywhere.
>  b) Show that [mm]\bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y},\bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial x})[/mm]
> and [mm]\bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial y})[/mm]
> exist everywhere, but [mm]\bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial x})(0,0)\not=\bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial y})(0,0).[/mm]

Also, ich würde bei der b) einfach mal die partiellen Ableitungen ausrechnen - das müsste doch für die Existenz reichen, oder?
Ich fang mal mit der ersten an:

[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] y*\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy*\bruch{2x(x^2+y^2)-(x^2-y^2)2x}{(x^2+y^2)^2} [/mm]
Wenn man das nun weiter umformt, dann müsste man eigentlich erhalten:
[mm] =\bruch{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2} [/mm]

Schaffst du den Rest alleine? Ich kontrolliere es gerne. ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                
Bezug
Funktion f(x,y): Rechnung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:44 Mo 23.05.2005
Autor: JenniferH

Hallo Bastiane,

du hast mir sehr geholfen! Dankeschön dafür!

Bei a) habe ich jetzt gerechnet, aber komme nicht weiter.
$ [mm] y\cdot{}\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy\cdot{}\bruch{2x(x^2+y^2)-(x^2-y^2)2x}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $

[mm] \bruch{yx^2-y^3}{x^2+y^2}+xy\bruch{2x^3+2xy^2-2x^3+2x^3y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm]

[mm] \bruch{yx^2-y^3}{x^2+y^2}+xy\bruch{2xy^2+2x^3y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm]

[mm] \bruch{yx^2-y^3}{x^2+y^2}+\bruch{2x^2y^3+2x^4y^3}{(x^2+y^2)^2} [/mm]

zu b) meinst du die Ableitungen nach x und y von $ [mm] f(x,y)=xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}\not=(0,0), [/mm] $ ?

Bezug
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