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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Caroline |
Hallo liebe Leute,
wir haben als Übung u.a. auf
a) eine in keinem Punkt stetige Funktion zu finden, die aber integrierbar ist. und
b) eine weitere Funktion f: [0,1] --> [mm] \IRzu [/mm] finden, die nicht messbar ist, aber deren Betrag messbar ist...
Also bei der a) habe ich mir nach einiger Zeit überlegt, dass ich einfach die Dirichlet-Funktion nehmen werde, diese hatten wir auch kurz mal in der Vorlesung, hatten auch letztes semester gezeigt, dass sie in keinem Punkt stetig ist aber sie ist ja Lebesgne-integrierbar, was ich auch gezeigt habe... hoffe das ist die richtige funktion, nur zur b) habe ich keine ahnung, kann mir da jmd. helfen?
Grüße
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Fr 18.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Hallo liebe Leute,
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> wir haben als Übung u.a. auf
>
> a) eine in keinem Punkt stetige Funktion zu finden, die
> aber integrierbar ist. und
> b) eine weitere Funktion f: [0,1] --> [mm]\IRzu[/mm] finden, die
> nicht messbar ist, aber deren Betrag messbar ist...
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> Also bei der a) habe ich mir nach einiger Zeit überlegt,
> dass ich einfach die Dirichlet-Funktion nehmen werde, diese
> hatten wir auch kurz mal in der Vorlesung, hatten auch
> letztes semester gezeigt, dass sie in keinem Punkt stetig
> ist aber sie ist ja Lebesgne-integrierbar, was ich auch
> gezeigt habe... hoffe das ist die richtige funktion, nur
> zur b) habe ich keine ahnung, kann mir da jmd. helfen?
Die Dirichlet-Funktion ist richtig. Sie ist messbar, weil sie nur an abzählbar unendlich vielen Punkten den Wert 1 annimmt.
Für den Teil b) könntest du eine Funktion konstruieren, die nur die Werte +1 und -1 annimmt. Der Betrag ist offensichtlich messbar, da er immer 1 ist.
Viele Grüße
Rainer
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