Funktion für Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:14 Sa 14.06.2008 | | Autor: | nova76 |
Hi
So langsam verzweifle ich an der Suche nach einer geeigneten Funktion, um die Länge der Kurve und das Volumen und die Mantelfläche eines Rotationskörpers berechnen zu können.
Meine schöpferische Vorstellungskraft in der Mathematik hält sich eher in (engen) Grenzen.
Dennoch habe ich versucht eine Funktion zu finden, wie beispielsweise die Silhouette einer liegenden Rakete oder so ähnlich. Bei all meinen bisherigen Versuchen stellte sich aber heraus, dass keine Stammfunktion gebildet werden konnte (mit verschiedenen Tools verifiziert). Ich wollte etwas originelleres als eine Kugel, einen Zylinder, etc.
Leider bisher ohne Erfolg.
Es handelt sich um eine offene Fragestellung. Dabei soll die Längenberechnung und die Rotation um x- und y-Achse durchgeführt werden. Weitere Vorgaben gibt es nicht. Die Funktion kann frei gewählt werden.
Hat jemand von euch eine Idee für eine Funktion?
Nicht kompliziert, nur ein wenig "spezieller". ;)
Danke im Voraus.
Gruss
nova
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:06 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Für die Mantelfläche könnte ich höchstens f(x)=sin(x) oder [mm] f(x)=e^x [/mm] empfehlen, da sich die dann gut integrieren lassen würden. Bei anderen Funktionen wird das wohl schwieriger, wie du selbst schon gesehen hast.
Allerdings kannst du Integrale ja auch (beliebig) gut annähern, diese Annäherung kann man an solchen Sachen gut üben.
![[]](/images/popup.gif) KLICK
Die recht kurze Formel (Q(f), Simpsonregel für n=2, oder Keplersche Fassregel) kann man immer gut verwenden, um Integrale zu kontrollieren.
Wenn du es aber recht genau haben willst, solltest du statt n=2 n=8 nehmen.
Würde so aussehen:
Du musst dein Intervall (obere Integrationsgrenze-untere Integrationsgrenze) in 8 gleich lange Stücke einteilen. Zwischen [mm] y_0 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] ist das 1., zwischen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] das 2., ..., zwischen [mm] y_7 [/mm] und [mm] y_8 [/mm] das 8.
Dann brauchst du die insgesamt 9 Funktionswerte [mm] (y_0 [/mm] bis [mm] y_8), [/mm] macht etwas Mühe, aber na ja :) Dafür ist die Genauigkeit auch akzeptabel.
Dann musst du nur noch einsetzen.
[mm] Q(f)=\bruch{b-a}{24}(y_0+y_8+4(y_1+y_3+y_5+y_7)+2(y_2+y_4+y_6))
[/mm]
Kannst ja auch an bekannten Funktionen testen, die du so integrieren kannst, damit du siehst, dass der Fehler nicht relevant ist.
Also kann man sagen:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \approx \bruch{b-a}{24}(y_0+y_8+4(y_1+y_3+y_5+y_7)+2(y_2+y_4+y_6))
[/mm]
Zielt vielleicht etwas am Thema vorbei, weil du ja eigentlich Funktionen wolltest, aber wie gesagt, mit explizit auflösen wird es in den seltensten Fällen etwas! Zumindest bei der Bogenlänge und der Mantelfläche.
Vielleicht hilft es dir ja trotzdem etwas.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Di 17.06.2008 | | Autor: | nova76 |
Hallo Teufel
Danke für die Vorschläge.
Ich musste mich mittlerweile verabschieden von der Idee eine originelle Funktion zu finden.
Da es ohne Annäherung gehen soll - also mit der Formel [mm] \integral_{a}^{b} \wurzel{1 + (f'(x))^2} dx[/mm] - war es mir nicht möglich eine der Funktionen zu nehmen, bei denen der Rotationskörper dann auch "ansprechend" aussieht.
Entweder habe ich irgend etwas falsch gemacht oder es geht tatsächlich in den meisten Fällen nicht.
Nun habe ich eine "langweilige" Gerade genommen um die Aufgabe zu lösen ;)
Gruss
nova
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