Funktion im R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 23.04.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2 \to \IR, x\to f(x)=\begin{cases}\bruch{x_1x_2}{|x|^2} , & \mbox{} x\not=0 \\ 0, & \mbox{} x=0 \end{cases}
[/mm]
Berechne den Winkel [mm] \alpha \in \IR [/mm] und jede Zahl [mm] \lambda \not=0 [/mm] den Funktionswert von f an der Stelle [mm] x=\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha} [/mm] und vereinfache so weit wie möglich. Was fällt auf? |
Ich setze also für x einfach ein:
[mm] f(x_1,x_2)= \bruch{x_1x_2}{|x|^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha} \lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha} }{(\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha} ^2+\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha}) ^2)}
[/mm]
dann erhält man
[mm] =\bruch{1 }{(\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha}+\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha}) )}
[/mm]
Aber so leicht kann das nicht sein. helft ihr mir auf die Sprünge, was bei dieser Aufgabe gemeint ist?
Lg
heinze
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f:\IR^2 \to \IR, x\to f(n)=\begin{cases}\bruch{x_1x_2}{|x|^2} , & \mbox{} x\not=0 \\ 0, & \mbox{} x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Berechne den Winkel [mm]\alpha \in \IR[/mm] und jede Zahl [mm]\lambda \not=0[/mm]
> den Funktionswert von f an der Stelle
> [mm]x=\lambda*\vektor{\cos\alpha \\ \sin\alpha}[/mm] und vereinfache
> so weit wie möglich. Was fällt auf?
> Ich setze also für x einfach ein:
>
> [mm]f(x_1,x_2)= \bruch{x_1x_2}{|x|^2}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha} \lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha} }{(\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha} ^2+\lambda*\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha}) ^2)}[/mm]
Ich verstehe nicht, was du hier rechnest: du setzt den Vektor statt seiner Komponenten ein. [mm] $x_1=\lambda \cos\alpha$, $x_2=\lambda\sin\alpha$, [/mm] was kommt also heraus?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 23.04.2012 | | Autor: | heinze |
peinlich peinlich, das weiß ich eigentlich!
[mm] f(x_1,x_2)=\bruch{x_1*x_2}{x_1^2+x_2^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{cos\alpha*sin\alpha}{cos\alpha^2+sin\alpha^2}
[/mm]
[mm] =cos\alpha*sin\alpha
[/mm]
Und nu? Ich verstehe denn Sinn der Aufgabe nicht so recht. "Vereinfache so weit wie möglich" - wirklich zu vereinfachen gabs hier ja nicht oder hab ich falsch in die Funktion eingesetzt?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> peinlich peinlich, das weiß ich eigentlich!
> [mm]f(x_1,x_2)=\bruch{x_1*x_2}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{cos\alpha*sin\alpha}{cos\alpha^2+sin\alpha^2}[/mm]
>
> [mm]=cos\alpha*sin\alpha[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du könntest das noch als [mm] $\bruch{1}{2}\sin(2\alpha)$ [/mm] schreiben.
> Und nu? Ich verstehe denn Sinn der Aufgabe nicht so recht.
> "Vereinfache so weit wie möglich" - wirklich zu
> vereinfachen gabs hier ja nicht oder hab ich falsch in die
> Funktion eingesetzt?
Überleg dir mal, wie diese Funktion aussieht, wenn du auf die 0 zumarschierst.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
> [mm]f(x_1,x_2)=\bruch{x_1*x_2}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{cos\alpha*sin\alpha}{cos\alpha^2+sin\alpha^2}[/mm]
>
> [mm]=cos\alpha*sin\alpha[/mm]
wurde hier nicht [mm] \lambda [/mm] vergessen?
[mm] =\bruch{\lambda(cos\alpha)*\lambda(sin\alpha)}{\lambda(cos\alpha)^2+\lambda(sin\alpha)^2}
[/mm]
Dann folgt dieser Schritt auch nicht wenn das [mm] \lambda [/mm] hinzukommt :
> [mm]=cos\alpha*sin\alpha[/mm]
>
> Ich verstehe denn Sinn der Aufgabe nicht so recht.
> "Vereinfache so weit wie möglich" - wirklich zu
> vereinfachen gabs hier ja nicht oder hab ich falsch in die
> Funktion eingesetzt?
Den Sinn und das für alle [mm] \alpha [/mm] und [mm] \lambda [/mm] berechnet werden soll und was man damit jetzt weiter macht, das ist mir auch nicht kla!
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Di 24.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
>
> > [mm]f(x_1,x_2)=\bruch{x_1*x_2}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{cos\alpha*sin\alpha}{cos\alpha^2+sin\alpha^2}[/mm]
> >
> > [mm]=cos\alpha*sin\alpha[/mm]
>
> wurde hier nicht [mm]\lambda[/mm] vergessen?
Eher ein Schritt übersprungen.
> [mm]=\bruch{\lambda(cos\alpha)*\lambda(sin\alpha)}{\lambda(cos\alpha)^2+\lambda(sin\alpha)^2}[/mm]
Nein:
[mm]=\bruch{\lambda(cos\alpha)*\lambda(sin\alpha)}{\lambda^{\red{2}}(cos\alpha)^2+\lambda^{\red{2}}(sin\alpha)^2}[/mm]
und das [mm] $\lambda$ [/mm] fällt heraus.
> >
> > Ich verstehe denn Sinn der Aufgabe nicht so recht.
> > "Vereinfache so weit wie möglich" - wirklich zu
> > vereinfachen gabs hier ja nicht oder hab ich falsch in die
> > Funktion eingesetzt?
>
> Den Sinn und das für alle [mm]\alpha[/mm] und [mm]\lambda[/mm] berechnet
> werden soll und was man damit jetzt weiter macht, das ist
> mir auch nicht kla!
Wie ich schon schrieb: was passiert wenn du entlang einer Geraden auf den Nullpunkt zuläufst?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php?xmin=-1&xmax=1&ymin=-1&ymax=1&zmin=Auto&zmax=Auto&f=cos%28x%29%2Asin%28x%29]Graph: cos(x)*sin(x)
ich habe die Funktion mal dargestellt, aber was ich daran erkenne weiß ich nicht. Mir fällt da nichts auf. Nur dass für [mm] \alpha [/mm] =90° sich die Funktion 0 annährt aber keine Nullstelle hat. Kann das sein?
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php?xmin=-1&xmax=1&ymin=-1&ymax=1&zmin=Auto&zmax=Auto&f=cos%28x%29%2Asin%28x%29]Graph:
> cos(x)*sin(x)
das kann man so machen, aber Du solltest beachten, dass Du dort die Funktion nach dem Variablenwechsel plottest:
D.h. wenn $f: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x,y)=x_1x_2/\|x\|^2$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] und $f(0)=0$ war, und wenn (das leider nicht ganz injektive) $g: [mm] [0,2\pi) \times [0,\infty) \to \IR^2$ [/mm] mit [mm] $g(\alpha,\lambda)=\lambda*(\cos \alpha,\,\sin \alpha)$ [/mm] gegeben ist:
Was genau ist dann die Funktion [mm] $h(\alpha,\lambda)=\cos(\alpha)\sin(\alpha)=\sin(2\alpha)/2$? [/mm] Also wie kann man die mittels [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] (oder sowas wie [mm] $g^{-1}$?) [/mm] ausdrücken?
Die Ursprungsfunktion sah so aus:
![[]](/images/popup.gif) Klick!
Und jetzt denke nochmal drüber nach:
Du kannst ja für [mm] $(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] auch entlang einer Geraden auf die Null zulaufen: Das bedeutet dann sowas wie, dass [mm] $\alpha=konstant$ [/mm] bleibt, aber man dabei [mm] $\lambda=\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ [/mm] gegen [mm] $0\,$ [/mm] streben läßt...
Wer ein wenig mehr Kenntnisse hat, beantwortet sich hier schnell die folgende Frage: Kann [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] sein?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
..jetzt versteh ich gar nichts mehr.....f ist in (0,0) nicht stetig.
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> ..jetzt versteh ich gar nichts mehr.....f ist in (0,0)
> nicht stetig.
Für t [mm] \ne [/mm] 0 ist f(t,t)=1/2. Also ist [mm] \limes_{t\rightarrow 0}f(t,t)=1/2 \ne [/mm] 0 =f(0,0).
Siehst Du jetzt, dass f in (0,0) nicht stetig ist ?
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
|
|
|
| |
|
Achso, DAS war mit der Aufgabenstellung gemeint? Das auf Stetigkeit geprüft wird?
Und das reicht erst einzusetzen und die Unstetigkeit in (0,0) so knapp zu zeigen?
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso, DAS war mit der Aufgabenstellung gemeint?
> Das auf
> Stetigkeit geprüft wird?
nicht zwangsläufig. Die Aufgabenstellung läßt vielerlei Interpretation zu. Man kann am Ende ja auch sehen, dass die Funktion "entlang jeder Ursprungsgeraden des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] wenn man von dieser die [mm] $(0,0)\,$ [/mm] "entfernt", konstant ist".
> Und das reicht erst einzusetzen und die Unstetigkeit in
> (0,0) so knapp zu zeigen?
Natürlich: Wäre die Funktion stetig in [mm] $(0,0)\,,$ [/mm] dann müßte doch insbesondere [mm] $\lim_{0 \not=t \to 0}f((t,t))=f((0,0))$ [/mm] rauskommen - was aber nicht der Fall ist.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > ..jetzt versteh ich gar nichts mehr.....f ist in (0,0)
> > nicht stetig.
>
> Für t [mm]\ne[/mm] 0 ist f(t,t)=1/2. Also ist [mm]\limes_{t\rightarrow 0}f(t,t)=1/2 \ne[/mm]
> 0 =f(0,0).
>
> Siehst Du jetzt, dass f in (0,0) nicht stetig ist ?
>
ich darf mal was ergänzen, vielleicht hilft es Mathegirl ja:
Wenn Fred im [mm] $\IR^2$ [/mm] die Punkte [mm] $(t,t)\,$ [/mm] ($t [mm] \not=0$) [/mm] betrachtet, dann sind das gerade die Punkte auf der $45$-Grad Ursprungsgeraden (im euklidischen Koordinatensystem) - und zwar, um's ein wenig schulmathematisch auszudrücken: Bei der "steigenden 45-Grad-Ursprungsgerade" - und wegen $t [mm] \not=0$ [/mm] wird dabei nur der Ursprung $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] aus der Geraden rausgenommen!
D.h. wenn Fred schreibt, dass er [mm] $f(t,t)\,$ [/mm] ($t [mm] \not=0$) [/mm] betrachtet, und $t [mm] \to [/mm] 0$ laufen läßt, macht er nichts anderes, wie [mm] $\alpha=45$ [/mm] Grad zu fixieren, die Funktionswerte entlang dieser Geraden zu betrachten, wenn er entlang dieser gegen $(0,0) [mm] \in \IR^2\,$ [/mm] läuft.
Denn beachte: [mm] $(t,t)\,$ [/mm] hat ja die Länge [mm] $\lambda=\lambda(t)=\|(t,t)\|=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}|t|\,,$ [/mm] und bei $t [mm] \to [/mm] 0$ geht dann auch [mm] $\lambda \to 0\,.$ [/mm] Aber das passende [mm] $\alpha$ [/mm] ist hier (für $t [mm] \not=0$) [/mm] immer [mm] $45\,$ [/mm] Grad.
Und Du kannst auch einen Test machen:
Fred hat ja $f(t,t)=1/2$ nachgerechnet - und zwar bzgl. der Darstellung im kartesischen Koordinatensystem. Du hattest in Polarkoordinaten sowas wie [mm] $\frac{1}{2}\sin(2*\alpha)$ [/mm] für die Funktion am Ende raus - auf [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}\,,$ [/mm] wobei hier ein Punkt des [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] in Polarkoordinaten angegeben war. Kommt bei [mm] $\frac{1}{2}\sin(2*\alpha)$ [/mm] für [mm] $a=45^\text{o}$ [/mm] am Ende nun auch [mm] $1/2\,$ [/mm] raus oder nicht?
P.S.
Ich hatte Dich (Mathegirl!! NICHT Fred!) nicht umsonst gefragt, was Du eigentlich tust - also was da eigentlich für eine Funktion am Ende steht - wenn Du die Funktion anstatt bzgl. ihrer kartesischer Koordinaten so formulierst, dass sie bzgl. Polarkoordinaten am Ende dasteht. Schreib' das mal formal sauber auf, denn das alleine hilft schon, viele Missverständnisse zu vermeiden (die man etwa schnell in der Physik erhalten könnte, weil die die gleiche Funktionsbezeichnung benutzen, auch nach einer Transformation in Polarkoordinaten).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
