Funktion in \IR^{3} < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | | Zeigen Sie dass die Abbildung f : [mm] \IR^{3} \rightarrow \IR^{3}, [/mm] f(a,b,c) [mm] \mapsto [/mm] f(2b, 3c, 4a) bijektiv ist und bestimmten die die Umkehrfunktion. |
Zum beweisen der Bijektivität muss ich Injektivität und Surjektivität nachweisen.
Ersteinmal musste ich verstehen was diese Funktion überhaupt darstellt. Nach einer Zeichnung kam ich auf die Idee, dass es ein Vektor im [mm] \IR^{3} [/mm] darstellt.
Unter dieser Annahme überprüfte ich Surjektivität wie folgt:
Wenn a,b = 0 und c = [mm] \IR, [/mm] dann wird auf der z Achse jeder Wert genau 1 mal angenommen. Analog gilt das für die y-Achse und x-Achse.
Da festgestellt wurde, dass auf jeder Achse jeder Wert genau 1mal angenommen wird, lässt sich daraus schließen, dass für alle [mm] (a,b,c)_{1},(a,b,c)_{2}\in\IR [/mm] mit [mm] (a,b,c)_{1}\not=(a,b,c)_{2} [/mm] gilt [mm] f(a,b,c)_{1})\not=f(a,b,c)_{2}. [/mm] Also injektiv und damit bijektiv.
Umkehrfunktion:
es gilt [mm] f\vektor{a\\b\\c} \mapsto f\vektor{2b\\3c\\4a}.
[/mm]
Für [mm] a,b,c\in\IR [/mm] gelte [mm] \vektor{2b=x\\3c=y\\4a=z}.
[/mm]
Dann gilt für die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}\vektor{a\\b\\c}=\vektor{b=x/2\\c=y/3\\a=z/4}.[/mm]
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> Zeigen Sie dass die Abbildung f : [mm]\IR^{3} \rightarrow \IR^{3},[/mm]
> f(a,b,c) [mm]\mapsto[/mm] f(2b, 3c, 4a) bijektiv ist und bestimmten
> die die Umkehrfunktion.
Hallo,
ich denke doch, daß die Abbildungsvorschrift lauten sollte
[mm] (a,b,c)\mapsto [/mm] (2b,3c,4a)
bzw.
f(a,b,c):=(2b,3c,4a)
> Zum beweisen der Bijektivität muss ich Injektivität und
> Surjektivität nachweisen.
Ja.
>
> Ersteinmal musste ich verstehen was diese Funktion
> überhaupt darstellt. Nach einer Zeichnung kam ich auf die
> Idee, dass es ein Vektor im [mm]\IR^{3}[/mm] darstellt.
Die Funktion f bildet einfach in der oben angegebenen Weise Vektoren des [mm]\IR^{3}[/mm] auf Vektoren des [mm]\IR^{3}[/mm] ab.
Mehr brauchst Du da nicht zu überlegen.
>
> Unter dieser Annahme überprüfte ich Surjektivität wie
> folgt:
> Wenn a,b = 0 und c = [mm]\IR,[/mm] dann wird auf der z Achse jeder
> Wert genau 1 mal angenommen.
Ich weiß nicht so recht, was Du damit meinst.
> Analog gilt das für die
> y-Achse und x-Achse.
> Da festgestellt wurde, dass auf jeder Achse jeder Wert
> genau 1mal angenommen wird, lässt sich daraus schließen,
> dass für alle [mm](a,b,c)_{1},(a,b,c)_{2}\in\IR[/mm] mit
> [mm](a,b,c)_{1}\not=(a,b,c)_{2}[/mm] gilt
> [mm]f(a,b,c)_{1})\not=f(a,b,c)_{2}.[/mm] Also injektiv
mal abgesehen davon, daß ich nicht verstehe, was Du mit den Achsen im Schilde führst: es reicht nicht, die Funktionswerte der Elemente der Achsen allesamt verschieden sind. Das muß für alle Punke des Raumes funktionieren.
Ich sehen, daß die Def. der Injektivität, daß nämlich aus [mm] (a_1,b_1, c_1)\not=(a_2,b_2,c_2) [/mm] folgen muß, daß [mm] f(a_1,b_1, c_1)\not=f(a_2,b_2,c_2) [/mm] , bekannt ist.
Zum Zeigen der Injektivität ist meist das gleichwertige Kriterium,
[mm] f(a_1,b_1, c_1)=f(a_2,b_2,c_2) [/mm] ==> [mm] (a_1,b_1, c_1)=(a_2,b_2,c_2),
[/mm]
bequemer.
Das verwenden wir jetzt mal.
Seien [mm] (a_1,b_1, c_1),(a_2,b_2,c_2) \in \IR^3 [/mm] mit
[mm] f(a_1,b_1, c_1)=f(a_2,b_2,c_2).
[/mm]
Aufgrund der Funktionsvorschrift folgt [mm] (2b_1,3c_1,4a_1)=(2b_2,3c_2,4a_2).
[/mm]
==> [mm] 2b_1=2b_2 [/mm] und ... und ...
==> ??? ??? ???
>Also injektiv und damit
> bijektiv.
Nein. Injektivität reicht doch nicht für Bijektivität.
Man muß noch über Surjektivität nachdenken.
Hierfür mußt Du zeigen, daß Du für jeden beliebigen Vektor (x,y,z) einen findest, der darauf abgebildet wird.
Also: es sei (x,y,z) [mm] \in $\IR^{3}$ [/mm] beliebig.
Es ist f(...)=(x,y,z), also ist f surjektiv.
>
> Umkehrfunktion:
> es gilt [mm]f\vektor{a\\
b\\
c} \mapsto f\vektor{2b\\
3c\\
4a}.[/mm]
Wie gesagt gilt wohl eher [mm] $f\vektor{a\\ b\\ c}=\vektor{2b\\ 3c\\ 4a}.$
[/mm]
Mach auch kein Wirrwarr mit Spalten und Zeilen. Oben hattest Du Zeilen, jetzt sind's plötzlich Spalten...
>
> Für [mm]a,b,c\in\IR[/mm] gelte [mm]\vektor{2b=x\\
3c=y\\
4a=z}.[/mm]
> Dann gilt für die Umkehrfunktion
> [mm]f^{-1}\vektor{a\\
b\\
c}=\vektor{b=x/2\\
c=y/3\\
a=z/4}.[/mm]
Ich übersetze mal, was Du uns sagen möchtest:
Behauptung:
Die Funktion [mm] f^{-1}:\IR^{3} \rightarrow \IR^{3} [/mm] mit [mm] \vektor{x\\y\\z}\mapsto \vektor{z/4\\x/2\\y/3} [/mm] ist Umkehrfunktion von f.
Beweis:
es ist [mm] f^{-1}(f\vektor{a\\b\\c})= ...=...=\vektor{a\\b\\c},
[/mm]
und es ist [mm] f(f^{-1}\vektor{a\\b\\c})= ...=...=\vektor{a\\b\\c}.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ich soll also zeigen, dass [mm] _{(a_{1},b_{1},c_{1}),(a_{2},b_{2},c_{2})}\in\IR^{3}, [/mm] obwohl als verschieden betrachtet den gleichen Wert liefern [mm] f(a_{1},b_{1},c_{1}) [/mm] = [mm] f(a_{2},b_{2},c_{2}) [/mm] eben weil sie garnicht verschieden sind, sondern [mm] (a_{1},b_{1},c_{1}) [/mm] = [mm] (a_{2},b_{2},c_{2}).
[/mm]
[mm] f(a_{1},b_{1},c_{1}) [/mm] = [mm] f(a_{2},b_{2},c_{2})
[/mm]
[mm] \rightarrow (a_{1},b_{1},c_{1} [/mm] = [mm] a_{2},b_{2},c_{2})
[/mm]
[mm] \rightarrow (2b_{1},3c_{1},4a_{1}) [/mm] = [mm] (2b_{2},3c_{2},4a_{2})
[/mm]
Und da wir Vektoren betrachten,
[mm] \rightarrow 2b_{1} [/mm] = [mm] 2b_{2}, 3c_{1} [/mm] = [mm] 3c_{2}, 4a_{1} [/mm] = [mm] 4a_{2}
[/mm]
[mm] \rightarrow 2b_{1} [/mm] + [mm] 3c_{1} [/mm] + [mm] 4a_{1} [/mm] = [mm] 2b_{2} [/mm] + [mm] 3c_{2} [/mm] + [mm] 4a_{2}
[/mm]
Also liefern nur verschiedene (a,b,c) auch verschiedene f(a,b,c)
und deshalb injektiv
Da wir festgestellt haben, dass jedes 3-tupel [mm] (a,b,c)_{1}\not=(a,b,c)_{2} [/mm] ein anderen Vektor v=(x,y,z) im raum darstellt, und wir von [mm] \IR^{3}\to\IR^{3} [/mm] bilden, so können wir behaupten, dass jeder Vektor v [mm] (x,y,z)_{n}=(2b,3c,4a)_{n} [/mm] im [mm] \IR^{3} [/mm] ein eindeutiges Urbild (a,b,c) besitzt. Also auch surjektiv und damit bijektiv.
Umkehrfunktion: [mm] f^{-1} [/mm] : [mm] \IR^{3} \rightarrow \IR^{3} [/mm] mit (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] (z/4,x/2,y/3)
Beweis: [mm] f^{-1}(f(a,b,c)) \gdw f^{-1}((2b,3c,4a)) \gdw f^{-1}(x,y,z) \gdw [/mm] (z/4,x/2,y/3) [mm] \gdw [/mm] (a,b,c)
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Hallo,
> Ich soll also zeigen, dass
> [mm]_{(a_{1},b_{1},c_{1}),(a_{2},b_{2},c_{2})}\in\IR^{3},[/mm]
> obwohl als verschieden betrachtet den gleichen Wert liefern
> [mm]f(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] = [mm]f(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm]
Hallo,
nein. Sondern:
Du nimmst an, daß es zwei Elemente gibt, deren Funktionswerte gleich sind, und weist nach, daß dann die beiden Elemente gleich sind.
> eben weil sie
> garnicht verschieden sind, sondern [mm](a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] =
> [mm](a_{2},b_{2},c_{2}).[/mm]
>
> [mm]f(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] = [mm]f(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm]
> [mm]\rightarrow (a_{1},b_{1},c_{1}[/mm] = [mm]a_{2},b_{2},c_{2})[/mm]
Quatsch!
> [mm]\rightarrow (2b_{1},3c_{1},4a_{1})[/mm] = [mm](2b_{2},3c_{2},4a_{2})[/mm]
> Und da wir Vektoren betrachten,
> [mm]\rightarrow 2b_{1}[/mm] = [mm]2b_{2}, 3c_{1}[/mm] = [mm]3c_{2}, 4a_{1}[/mm] =
> [mm]4a_{2}[/mm]
Genau.
Daher ist [mm] a_1=a_2, b_1=b_2 [/mm] und [mm] c_1=c_2, [/mm] was zur Folge hat, daß
[mm] (a_1, b_1, c_1)=(a_2, b_2, c_2).
[/mm]
> [mm]\rightarrow 2b_{1}[/mm] + [mm]3c_{1}[/mm] + [mm]4a_{1}[/mm] = [mm]2b_{2}[/mm] + [mm]3c_{2}[/mm]
> + [mm]4a_{2}[/mm]
Das stimmt zwar, ist aber für unsere Fragestellung völlig uninteressant.
> Also liefern nur verschiedene (a,b,c) auch
> verschiedene f(a,b,c)
> und deshalb injektiv
Ja.
>
> Da wir festgestellt haben, dass jedes 3-tupel
> [mm](a,b,c)_{1}\not=(a,b,c)_{2}[/mm] ein anderen Vektor v=(x,y,z) im
> raum darstellt,
???
> und wir von [mm]\IR^{3}\to\IR^{3}[/mm] bilden, so
> können wir behaupten, dass jeder Vektor v
> [mm](x,y,z)_{n}=(2b,3c,4a)_{n}[/mm] im [mm]\IR^{3}[/mm] ein eindeutiges
> Urbild (a,b,c) besitzt.
???
Wir behaupten da nix, sondern wir zeigen es.
Du mußt das Element angeben, welches aus (x, y, z) abgebildet wird.
Was Dein Index n soll, weiß ich nicht.
> Also auch surjektiv und damit
> bijektiv.
Ja.
>
>
> Umkehrfunktion: [mm]f^{-1}[/mm] : [mm]\IR^{3} \rightarrow \IR^{3}[/mm] mit
> (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] (z/4,x/2,y/3)
>
> Beweis: [mm]f^{-1}(f(a,b,c)) \gdw f^{-1}((2b,3c,4a)) \gdw f^{-1}(x,y,z) \gdw[/mm] (z/4,x/2,y/3) [mm]\gdw[/mm] (a,b,c)
Was sollen die Pfeile?
Richtig ist's so:
[mm] f^{-1}(f(a,b,c)) =f^{-1}((2b,3c,4a))= [/mm] (a,b,c).
Wo kommen bei Dir die x,y,z her?
LG Angela
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 So 04.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > Zeigen Sie dass die Abbildung f : [mm]\IR^{3} \rightarrow \IR^{3},[/mm]
> > f(a,b,c) [mm]\mapsto[/mm] f(2b, 3c, 4a) bijektiv ist und bestimmten
> > die die Umkehrfunktion.
>
> Hallo,
>
> ich denke doch, daß die Abbildungsvorschrift lauten
> sollte
>
> [mm](a,b,c)\mapsto[/mm] (2b,3c,4a)
>
> bzw.
> f(a,b,c):=(2b,3c,4a)
>
>
> > Zum beweisen der Bijektivität muss ich Injektivität und
> > Surjektivität nachweisen.
>
> Ja.
>
> >
> > Ersteinmal musste ich verstehen was diese Funktion
> > überhaupt darstellt. Nach einer Zeichnung kam ich auf die
> > Idee, dass es ein Vektor im [mm]\IR^{3}[/mm] darstellt.
>
> Die Funktion f bildet einfach in der oben angegebenen Weise
> Vektoren des [mm]\IR^{3}[/mm] auf Vektoren des [mm]\IR^{3}[/mm] ab.
> Mehr brauchst Du da nicht zu überlegen.
>
> >
> > Unter dieser Annahme überprüfte ich Surjektivität wie
> > folgt:
> > Wenn a,b = 0 und c = [mm]\IR,[/mm] dann wird auf der z Achse
> jeder
> > Wert genau 1 mal angenommen.
>
> Ich weiß nicht so recht, was Du damit meinst.
>
> > Analog gilt das für die
> > y-Achse und x-Achse.
> > Da festgestellt wurde, dass auf jeder Achse jeder Wert
> > genau 1mal angenommen wird, lässt sich daraus schließen,
> > dass für alle [mm](a,b,c)_{1},(a,b,c)_{2}\in\IR[/mm] mit
> > [mm](a,b,c)_{1}\not=(a,b,c)_{2}[/mm] gilt
> > [mm]f(a,b,c)_{1})\not=f(a,b,c)_{2}.[/mm] Also injektiv
>
> mal abgesehen davon, daß ich nicht verstehe, was Du mit
> den Achsen im Schilde führst: es reicht nicht, die
> Funktionswerte der Elemente der Achsen allesamt verschieden
> sind. Das muß für alle Punke des Raumes funktionieren.
>
> Ich sehen, daß die Def. der Injektivität, daß nämlich
> aus [mm](a_1,b_1, c_1)\not=(a_2,b_2,c_2)[/mm] folgen muß, daß
> [mm]f(a_1,b_1, c_1)\not=f(a_2,b_2,c_2)[/mm] , bekannt ist.
>
> Zum Zeigen der Injektivität ist meist das gleichwertige
> Kriterium,
> [mm]f(a_1,b_1, c_1)=f(a_2,b_2,c_2)[/mm] ==> [mm](a_1,b_1, c_1)=(a_2,b_2,c_2),[/mm]
>
> bequemer.
>
> Das verwenden wir jetzt mal.
>
> Seien [mm](a_1,b_1, c_1),(a_2,b_2,c_2) \in \IR^3[/mm] mit
> [mm]f(a_1,b_1, c_1)=f(a_2,b_2,c_2).[/mm]
>
> Aufgrund der Funktionsvorschrift folgt
> [mm](2b_1,3c_1,4a_1)=(2b_2,3c_2,4a_2).[/mm]
>
> ==> [mm]2b_1=2b_2[/mm] und ... und ...
>
> ==> ??? ??? ???
>
>
> >Also injektiv und damit
> > bijektiv.
>
> Nein. Injektivität reicht doch nicht für Bijektivität.
> Man muß noch über Surjektivität nachdenken.
>
> Hierfür mußt Du zeigen, daß Du für jeden beliebigen
> Vektor (x,y,z) einen findest, der darauf abgebildet wird.
>
> Also: es sei (x,y,z) [mm]\in[/mm] [mm]\IR^{3}[/mm] beliebig.
>
> Es ist f(...)=(x,y,z), also ist f surjektiv.
>
>
>
> >
> > Umkehrfunktion:
> > es gilt [mm]f\vektor{a\\
b\\
c} \mapsto f\vektor{2b\\
3c\\
4a}.[/mm]
>
> Wie gesagt gilt wohl eher [mm]f\vektor{a\\ b\\ c}=\vektor{2b\\ 3c\\ 4a}.[/mm]
>
> Mach auch kein Wirrwarr mit Spalten und Zeilen. Oben
> hattest Du Zeilen, jetzt sind's plötzlich Spalten...
>
>
>
>
> >
> > Für [mm]a,b,c\in\IR[/mm] gelte [mm]\vektor{2b=x\\
3c=y\\
4a=z}.[/mm]
> >
> Dann gilt für die Umkehrfunktion
> > [mm]f^{-1}\vektor{a\\
b\\
c}=\vektor{b=x/2\\
c=y/3\\
a=z/4}.[/mm]
>
>
> Ich übersetze mal, was Du uns sagen möchtest:
>
> Behauptung:
>
> Die Funktion [mm]f^{-1}:\IR^{3} \rightarrow \IR^{3}[/mm] mit
> [mm]\vektor{x\\y\\z}\mapsto \vektor{z/4\\x/2\\y/3}[/mm] ist
> Umkehrfunktion von f.
>
> Beweis:
>
> es ist [mm]f^{-1}(f\vektor{a\\b\\c})= ...=...=\vektor{a\\b\\c},[/mm]
wenn ich mich nicht gerade täusche:
wenn man das so wie hier getan hat - also erst gezeigt hat: [mm] $f\,$ [/mm] ist
injektiv und [mm] $f\,$ [/mm] ist surjektiv, dann reicht es, wenn man zeigt
[mm] $$f^{-1}\circ f=\text{id}_X$$
[/mm]
für $f: X [mm] \to Y\,.$
[/mm]
Es ist dann nicht mehr nötig, auch [mm] $f\circ f^{-1}=\text{id}_Y$ [/mm] zu zeigen.
(Es reicht eigentlich, zu zeigen, dass eine dieser beiden Verknüpfungen
dann die entsprechende Identität ist. Aber das auch nur, wenn man
vorher entsprechendes gezeigt hat - ich denke auch, dass man sich
sogar überlegen kann, dass man, wenn man [mm] $f^{-1} \circ f=\text{id}_X$
[/mm]
gezeigt hat, nicht mehr sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität
von [mm] $f\,$ [/mm] zeigen muss, sondern nur eines von beiden - aber welches man
dann zeigen MUSS, das muss man sich überlegen. Das ist nicht "beliebig".)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 So 04.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie dass die Abbildung f : [mm]\IR^{3} \rightarrow \IR^{3},[/mm]
> f(a,b,c) [mm]\mapsto[/mm] f(2b, 3c, 4a) bijektiv ist und bestimmten
> die die Umkehrfunktion.
nur mal nebenbei: Wenn bei einer solchen Aufgabe eh verlangt ist, die
Umkehrfunktion zu bestimmen, dann kann man sich einiges sparen, wenn
man diese zuerst bestimmt (dafür muss die Aufgabenstellung natürlich
korrekt sein):
Es gilt nämlich der folgende Satz:
Eine Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann bijektiv, wenn es eine Funktion
$g: Y [mm] \to [/mm] X$ gibt, die die folgenden beiden Eigenschaften (I) und (II) hat:
(I) Es gilt für $f [mm] \circ [/mm] g: Y [mm] \to [/mm] Y$ einfach $f [mm] \circ g=\text{id}_{Y}\,.$
[/mm]
(II) Es gilt für $g [mm] \circ [/mm] f: X [mm] \to [/mm] X$ einfach $g [mm] \circ f=\text{id}_X\,.$
[/mm]
(Ist eine der beiden Fälle wahr, so auch die andere, also ist im Falle der
Bijektivität von [mm] $f\,$ [/mm] (bzw. im Falle der Existenz einer Funktion [mm] $g\,$ [/mm] mit
den Eigenschaften (I) und (II)) die Funktion [mm] $g\,,$ [/mm] die die Eigenschaften (I)
und (II) erfüllt, eindeutig bestimmt - und es ist gerade [mm] $g=f^{-1}\,,$ [/mm] also
die Umkehrfunktion.)
Inwiefern macht das das ganze einfacher? Nun, zuerst überlegt man sich,
wie diese Funktion [mm] $g\,$ [/mm] auszusehen hat. Wenn man sie dann explizit
hingeschrieben hat, prüft man einfach:
Es gilt SOWOHL (I) ALS AUCH (II) für [mm] $g\,.$
[/mm]
Beispiel: Ist [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] für $f: [mm] (-\infty,0]=:X \to Y:=[0,\infty)\,,$ [/mm] so betrachten wir
[mm] $g:=-\sqrt{x}$ [/mm] als Funktion $g: [mm] [0,\infty) \to (-\infty,0]\,.$
[/mm]
Es gilt $f [mm] \circ [/mm] g: Y [mm] \to [/mm] Y$ erfüllt für alle $y [mm] \ge [/mm] 0$ offenbar
$$(f [mm] \circ g)(y)=f(-\sqrt{y})=(-\sqrt{y})^2=y\,,$$
[/mm]
also $(f [mm] \circ g)=\text{id}_Y\,,$
[/mm]
und es gilt zudem für $g [mm] \circ [/mm] f: X [mm] \to [/mm] X$ offenbar für alle $x [mm] \le [/mm] 0$
[mm] $$(g\circ f)(x)=-\sqrt{f(x)}=-\sqrt{x^2}=-|x|=x\,,$$
[/mm]
also $g [mm] \circ f=\text{id}_X\,.$
[/mm]
Damit ist [mm] $g=f^{-1}$ [/mm] nach obenstehendem Satz - insbesondere ist [mm] $f\,$
[/mm]
also bijektiv, damit insbesondere injektiv und auch surjektiv!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Hm.. stimmt die Defintion mit der identischen Abbildung hab ich vollkommen vergessen. Zum Glück gibts oft mehrere Wege zum Ziel.
Ich versuche es mal auf diese Weise und vergleiche einfach beide.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 So 04.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hm.. stimmt die Defintion mit der identischen Abbildung hab
> ich vollkommen vergessen. Zum Glück gibts oft mehrere Wege
> zum Ziel.
>
> Ich versuche es mal auf diese Weise und vergleiche einfach
> beide.
das wird keinen großen Unterschied machen - es erspart ein bisschen
was, wenn man denn "weiß/sich überlegt hat, wie die Umkehrfunktion
explizit aussieht!"
Hier braucht man ja "nur" zwei Gleichheiten nachrechnen, während man
auf dem anderen Weg erst Injektivität zeigt, dann Surjektivität und dann
noch wenigstens eine Gleichheit nachrechnen muss.
Auch das kann man "verkürzen": Eine Abbildung $f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist ja genau
dann injektiv, wenn es eine Abbildung $h: Y [mm] \to [/mm] X$ gibt, die surjektiv ist.
(Falls dieser Satz bzw. der Beweis dazu unbekannt: Beweise es! Die
"grobe Vorstellung": Wenn es ein injektives $f: X [mm] \to [/mm] Y$ gibt, dann muss
[mm] $Y\,$ [/mm] "mehr" Elemente enthalten als [mm] $X\,$ [/mm] - und das gleiche "stellt man
sich auch vor", wenn es eine surjektive Abbildung $Y [mm] \to [/mm] X$ gibt!)
Wenn man nun aber $g: Y [mm] \to [/mm] X$ gefunden hat, so dass $g [mm] \circ f=\text{id}_X$ [/mm] gilt, so muss [mm] $g\,$ [/mm]
zwangsläufig surjektiv sein:
Angenommen, dem wäre nicht so. Dann gibt es ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ derart, dass
$g(y) [mm] \not=x_0\,$ [/mm] für alle $y [mm] \in Y\,.$ [/mm] Betrachten wir aber [mm] $y_0:=f(x_0) \in Y\,,$
[/mm]
so folgt [mm] $g(y_0)=(g \circ f)(x_0)=\text{id}_X(x_0)=x_0\,.$ [/mm] Widerspruch!
Das heißt, man könnte die Aufgabe auch so verkürzt angehen:
(I) Man beweist, dass [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv ist. Dann sucht man $g: Y [mm] \to [/mm] X$ derart,
dass $g [mm] \circ f=\text{id}_X$ [/mm] ist: Wenn man so eine findet, dann ist
[mm] $f\,$ [/mm] auch surjektiv. Und wenn ich mich nicht täusche folgt dann auch
schon insbesondere, dass [mm] $g=f^{-1}$ [/mm] sein muss! (Diese Folgerung sollte
allgemeingültig sein!)
(II) Alternativ: Man zeigt, dass [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist. Dann sucht man [mm] $g\,$ [/mm] so,
dass $f [mm] \circ g=\text{id}_Y$ [/mm] (beachte den Unterschied zu (I)). Und ich
denke, dass man auch hier dann schon folgern kann, dass [mm] $g=f^{-1}\,.$
[/mm]
(III) Man macht das, was ich in der anderen Mitteilung vorschlug: Man
finde $g: Y [mm] \to [/mm] X$ mit $f [mm] \circ g=\text{id}_Y$ [/mm] und $g [mm] \circ f=\text{id}_X$ [/mm] - die letzten beiden Gleichheiten beweißt man - und dann folgt definitiv,
dass [mm] $g=f^{-1}$ [/mm] sein muss.
Bei (I) und (II) bin ich mir eigentlich gerade ziemlich sicher, dass die
Behauptung, dass da [mm] $g=f^{-1}$ [/mm] sein muss, auch stimmt, wenn man das
zuvor erwähnte gezeigt hat. Aber weil ich's mir gerade nicht mehr überlegt
habe, solltest Du da halt auch selbst nochmal drüber nachdenken (sollte
nicht so schwierig sein)!
Euer Weg war auch nicht verkehrt, man macht nur ein paar Dinge zuviel,
denke ich. Und wenn man eh die Umkehrfunktion noch angeben soll, kann
man das auch ausnutzen, um sich ein wenig Arbeit zu ersparen!
Gruß,
Marcel
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