Funktion in Potenzreihe entw. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 18.01.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich stehe wieder mal vor einer Aufgabe und kann es leider nicht nachvollziehen
Ich habe ein Funktion f(x)= [mm] \bruch{2}{x+2} [/mm] und soll diese dann in eine Potenzreihe entwickeln.
Als Ergebnis soll rauskommen [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2^n}*x^n [/mm] aber wie kommt man auf sowas,bitte schritt für schritt erklären
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Hallo racy90,
ich meine, sowas in der Art hattest du neulich schon 
> Hallo,
>
> Ich stehe wieder mal vor einer Aufgabe und kann es leider
> nicht nachvollziehen
>
> Ich habe ein Funktion f(x)= [mm]\bruch{2}{x+2}[/mm] und soll diese
> dann in eine Potenzreihe entwickeln.
Du kannst es auf die "harte" (sprich: mühsame Tour machen) und ableiten wie bekloppt oder du denkst an die geometrische Reihe:
Es ist für [mm]|q|<1[/mm] doch [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}[/mm]
Nun schreibe [mm]f(x)[/mm] geschickt um:
[mm]\frac{2}{x+2}=2\cdot{}\frac{1}{2+x}=2\cdot{}\frac{1}{2\cdot{}\left(1+\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}[/mm]
Nun aber ganz scharf ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") auf die obige geometr. Reihe gucken...
>
> Als Ergebnis soll rauskommen [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2^n}*x^n[/mm]
Bekommst du das nun auch heraus?
> aber wie kommt man auf sowas,bitte schritt für schritt
> erklären
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 18.01.2011 | | Autor: | racy90 |
das ergebnis ist eingtl die geometrische reihe nur eben mit (-x/2) multipliziert oder?
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Hallo racy90,
> das ergebnis ist eingtl die geometrische reihe nur eben mit
> (-x/2) multipliziert oder?
Das Ergebnis ist eine geometrische Reihe mit [mm]q=-\bruch{x}{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 18.01.2011 | | Autor: | racy90 |
okay klar soweit aber wie gehe ich bei der funktion vor [mm] \bruch{13}{(17x+42)},hier [/mm] kürzt sich ja nicht so wie vorhin etwas weg
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Hallo racy90,
> okay klar soweit aber wie gehe ich bei der funktion vor
> [mm]\bruch{13}{(17x+42)},hier[/mm] kürzt sich ja nicht so wie
> vorhin etwas weg
Bringe das auf die Form [mm]\bruch{a}{1-b*x}[/mm]
Dann kannst Du das in eine geometrische Reihe entwickeln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 18.01.2011 | | Autor: | racy90 |
hab das mal umgeschrieben
[mm] \bruch{13}{(42+17x)} [/mm] und wie soll ich das genau entwickeln,was muss ich tun? Genau diesen schritt verstehe ich nicht
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Hallo nochmal,
> hab das mal umgeschrieben
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> [mm]\bruch{13}{(42+17x)}[/mm] und wie soll ich das genau
> entwickeln,was muss ich tun? Genau diesen schritt verstehe
> ich nicht
Ach, komm! Das geht analog zu der anderen Aufgabe von heute ...
Du brauchst im Nenner eine führende 1, also klammere dort [mm]42[/mm] aus.
[mm]\frac{13}{42+17x}=\frac{13}{42}\cdot{}\frac{1}{1+\frac{17}{42}x}[/mm]
Nun ist doch nicht mehr weit?!
Ich hoffe, das reicht nun als Schupser?!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 18.01.2011 | | Autor: | racy90 |
ich bin mir echt nicht sicher was ich machen soll
[mm] x^n*(\bruch{17}{42})^n*17^{-1-n}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> ich bin mir echt nicht sicher was ich machen soll
>
> [mm]x^n*(\bruch{17}{42})^n*17^(-1-n)[/mm]
Was soll dieser "hingeschmissene" Term uns sagen?
Wir hatten [mm]\frac{13}{42}\cdot{}\frac{1}{1+\frac{17}{42}x}[/mm]
[mm]=\frac{13}{42}\cdot{}\red{\frac{1}{1-\left(-\frac{17}{42}x\right)}}[/mm]
Und der rote Term sollte dir bekannt vorkommen!
[mm]=\frac{13}{42}\cdot{}\red{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{17}{42}x\right)^n}[/mm]
für [mm]\left|-\frac{17}{42}x\right|<1[/mm], also [mm]|x|<\frac{42}{17}[/mm]
Nun kannst du den Ausdruck in der Reihe noch ein wenig umformen:
[mm]=\frac{13}{42}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\left(\frac{17}{42}\right)^n\cdot{}x^n[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Mi 19.01.2011 | | Autor: | racy90 |
sorry war schon etwas spät gestern
aha und so kann ich also immer vorgehen?
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Hallo,
> sorry war schon etwas spät gestern
schöner fänd' ich mal ein "Dankeschön soweit an die Helfer" oder überhaupt mal ein nettes Wort ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> aha und so kann ich also immer vorgehen?
Das geht nur, wenn du gegebene Fkt. in die Form [mm] $\frac{1}{1-q}$ [/mm] bringen kannst, du also den bequemen Weg über die geometr. Reihe gehen kannst.
Ansonsten mache die Taylorentwicklung nach Schema F
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mi 19.01.2011 | | Autor: | racy90 |
Wäre genau jetzt gekommen
also wirklich danke :)
eine letzte frage noch zu dem thema [mm] \bruch{1}{(-8+x)}=\bruch{-1}{8}*\bruch{1}{(1-(-x))}=-1/8*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)*x^n
[/mm]
ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wäre genau jetzt gekommen
>
> also wirklich danke :)
>
> eine letzte frage noch zu dem thema
> [mm]\bruch{1}{(-8+x)}=\bruch{-1}{8}*\bruch{1}{(1-(-x))}=-1/8*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)*x^n[/mm]
Das stimmt nicht !
[mm] \bruch{1}{(-8+x)}=\bruch{-1}{8}*\bruch{1}{1-x/8}
[/mm]
FRED
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> ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mi 19.01.2011 | | Autor: | racy90 |
[mm] \bruch{1}{8}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)*\bruch{1}{8}^n*x^n
[/mm]
das sollte aber nun denk ich stimmen:)
gibts eigentlich dann eine probe ob es stimmt oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{1}{8}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)*\bruch{1}{8}^n*x^n[/mm]
>
> das sollte aber nun denk ich stimmen:)
Na ja. Du meinst sicher das Richtige.
Es ist [mm] \bruch{1}{8}^n= \bruch{1}{8}^
[/mm]
Du meinst aber siche:
( [mm] \bruch{1}{8})^n
[/mm]
FRED
>
> gibts eigentlich dann eine probe ob es stimmt oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Mi 19.01.2011 | | Autor: | racy90 |
ja genau nur falsch formatiert
Wenn ich jetzt meine fertige potenzreihe habe,gibts ne Möglichkeit probeweise nachzurechnen ob sie der Ausgangsfunktion entspricht??
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> ja genau nur falsch formatiert
>
> Wenn ich jetzt meine fertige potenzreihe habe,gibts ne
> Möglichkeit probeweise nachzurechnen ob sie der
> Ausgangsfunktion entspricht??
naja, entweder rechnest du von der potezreihe wieder zurück in die explizite ausgangsfunktion als probe, oder dur suchst dir in der ausgangsfunktion ein x innerhalb des konvergenzbereiches und vergleichst diesen mit den ersten 5-10 gliedern. sinnvoll wäre aber eine wahl wirklich nahe um den entwicklungspunkt
gruß tee
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