Funktion in Produkt umwandeln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Guten Tag: Ich habe hier eine Funktion:
[mm] $f(x)=x^5-1$
[/mm]
dies soll ich als Produkt quadratischer und linearer reeller Polynome darstellen. Und dann die komplexen Nullstellen bestimmen.
Das mit den Nullstellen würde ich ja hinbekommen aber leider bekomme ich die Zerlegung in Polynome nicht hin.
Wie muss man an soetwas herangehen wenn man keine Ahnung hat welche polynome dafür nützlich sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Duckx,
> Ich habe hier eine Funktion:
> [mm]f(x)=x^5-1[/mm]
> dies soll ich als Produkt quadratischer und linearer
> reeller Polynome darstellen. Und dann die komplexen
> Nullstellen bestimmen.
>
> Das mit den Nullstellen würde ich ja hinbekommen aber
> leider bekomme ich die Zerlegung in Polynome nicht hin.
Vielleicht solltest Du zuerst die Nullstellen bestimmen, dies sind gerade die 5-ten Einheitswurzeln.
Wenn Du die Nullstellen hast, kannst Du das Polynom als Produkt von Linearfaktoren schreiben. Wenn eine Nullstelle $a$ nicht reell ist, ist auch [mm] $\overline [/mm] a$ eine Nullstelle,
und das Produkt $(z-a) [mm] (z-\overline [/mm] a)$ ist ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten. Und schon ist die Zerlegung fertig!
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Und wie berechne ich die Nullstellen mithilfe der Einheitswurzeln?
Ich hoffe jemand kann mir das mal annähernd vorrechnen :( ich bin total überfordert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Duckx,
denke einmal nach, bevor Du in Panik verfällst  . Die Nullstellenberechnung hast Du in der Aufgabe von heute mittag gerade mit der Formel von Moivre gemacht. Was anderes brauchst du hier auch nicht. Du suchst alle Werte, für die gilt
[mm] x = \wurzel[5]{1} [/mm].
Da der Radius der Lösungen garantiert 1 beträgt, liegen alle Lösungen auf dem Einheitskreis und der Vollwinkel von 360 Grad wird in Winkelschritte von 72 Grad unterteilt. Mit diesem Wissen kannst Du die Lösung sofort hinschreiben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Das mag jetzt blöd klingen:
aber woher weiß ich welchen Wert ich nehmen muss vom Kreis?
X oder y?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
dein x ist eine komplexe Größe in einem kartesischen Koordinatensystem. Eine Lösung der fünf ist ganz sicherlich
[mm] x_1 = 1 [/mm] und das liegt auf der reellen Achse.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Heißt das jetzt die Lösungen von x erhält man durch cos(k*72°)
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> Heißt das jetzt die Lösungen von x erhält man durch
> cos(k*72°)
Hallo Duckx,
die Lösungen der Gleichung [mm] z^5=1 [/mm] (mit [mm] z\in\IC) [/mm] sind
die Werte [mm] z_k [/mm] = cos(k*72°) + i*sin(k*72°) mit k=0,1,2,3,4
Eines der Paare konjugierter Lösungen bilden z.B.
[mm] z_1 [/mm] = cos(72°) + i*sin(72°) und [mm] z_4 [/mm] = cos(72°) - i*sin(72°)
Das Polynom [mm] (z-z_1)*(z-z_4) [/mm] ist dann ein quadratisches
Polynom mit reellen Faktoren, welche sich anstatt mit
trigonometrischen Ausdrücken auch mit Wurzeltermen
darstellen lassen. Interessant ist dabei, dass dabei [mm] \sqrt{5} [/mm] auftritt,
also die Wurzel aus dem Wurzelexponenten deiner ur-
sprünglichen Gleichung.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
[mm] \wurzel{5} [/mm] als Ergebnis für den Radius in Polarkoordinaten tritt hier nicht auf, der Vollkreis wird aber gefünftelt.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo,
> [mm]\wurzel{5}[/mm] als Ergebnis für den Radius in
> Polarkoordinaten tritt hier nicht auf, der Vollkreis wird
> aber gefünftelt.
Hallo Infinit,
sowas habe ich ja auch nicht behauptet. Wenn man
aber etwa cos(72°) als exakten algebraischen Term
ausdrückt, taucht dabei [mm] \sqrt{5} [/mm] auf. Das war nur als
eine Bemerkung gedacht.
Analog taucht z.B. bei der Konstruktion des regelmäßigen
17-Ecks die [mm] \sqrt{17} [/mm] auf ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Al,
das stimmt natürlich, aber ich befürchte, das irritiert in diesem Falle mehr als dass es hilft.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
angenommen ich habe jetzt z1 und z4 ausgerechnet, wie bekomme ich dann das i weg?
und was ist das z bei deiner gleichung:
$ [mm] (z-z_1)\cdot{}(z-z_4) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Lösungen sind komplex, da gehört das i dazu, um den Imaginärteil zu charakterisieren. Du kannst nun die Lösung aus vier komplexen und einer reellen Nullstelle beschreiben. Je zwei der komplexen Lösungen sind jedoch konjugiert komplex zueinander, und daraus kannst Du wieder einen reellen Term machen nach der dritten binomischen Formel
[mm] (a + ib) (a - ib) = a^2 -b^2 [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
ok also hätte ich erst einmal die form:
$ x \ = [mm] \left[\cos\left(\frac{1}{5}\cdot{}\frac{2}{5}\pi+\frac{k}{5}\pi\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{1}{5}\cdot{}\frac{2}{5}\pi+\frac{k}{5}\pi\right)\right] [/mm] $
dann habe ich herausbekommen:
[mm] $x_1=0,929+0,368i$
[/mm]
[mm] $x_2=0,536+0,844i$
[/mm]
[mm] $x_3=-0,063+0,998i$
[/mm]
[mm] $x_4=-0,6374+0,77i$
[/mm]
[mm] $x_5=-0,968+0,249i$
[/mm]
Und daraus mache ich dann Polynome?
Ich habe aber nirgendswo gleiche Werte damit ich dir binomische Formel anwenden kann :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
wie kommst Du denn auf den Anfangswinkel im Sinus- und Cosinusargument, das kann doch nicht stimmen, wenn eine der Lösungen 1 = 1 + i0 ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Helbig hat doch gesagt 72° und das sind doch 2/5 [mm] $\pi$ [/mm] oder was meinst du genau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Ich hatte Dir die Lösung mit den 72 Grad gegeben, aber ich habe gesagt, dass die Lösungen um diesen Winkel auseinanderliegen, denn wenn Du diese Lösungen mit 5 potenzierst, muss das Ergebnis ja gerade wieder die 1 ergeben. Der Anfangswinkel, der erste Term im Sinus- bzw. Cosinusargument, ergibt sich als der Winkel Deiner komplexen Zahl aus der Form
[mm] x^5 = 1 [/mm] und die 1 liegt nun mal auf der reellen Achse und schließt demzufolge mit der reellen Achse einen Winkel von 0 Grad ein.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Achso ja das hatte ich nicht richtig bedacht
$ x \ = [mm] \left[\cos\left(\frac{k}{5}2\pi\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{k}{5}2\pi\right)\right] [/mm] $
So müsste es dann aber richtig sein oder bin ich total daneben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das ist der richtige Ansatz. Wenn Du die Werte ausrechnest, stellst Du fest, dass einer rein reell ist (für k = 0), die vier anderen komplex, wobei jedoch jeweils zwei konjugiert komplex zueinander sind. Wenn das Ergebnis der Potenzierung rein reell sein soll, hier die 1, geht dies auch nicht anders, da die Imaginärteile beim Ausmultiplizieren herausfallen müssen.
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Eine Frage hab ich allerdings noch:
Woher weiß man, ob man mit komplexen Zahlen arbeiten soll oder nicht?
Wenn ich jetzt meinetwegen [mm] $x^5-1$ [/mm] als funktion hätte und dort die Nullstellen berechnen sollte, wäre man auf dem Gymnasium ja nicht auf komplexe zahlen gekommen :)
und wieso kann ich bei [mm] x^5-1 [/mm] das auch anwenden? da ist ja nicht mal ein i dabei. Oder kann man sich einfach 0i dazudenken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Duckx,
auf dem Gymnasium vor gut 36 Jahren hatte ich so was auch nicht gelernt, das kam erst im Studium dazu. Das Arbieten mit komplexen Zahlen eröffnet Berechnungsmöglichkeiten, an die man nicht unbedingt denkt, wenn man nur im Reellen arbeitet. Die reellen Zahlen sind allerdings ja ein Teil der komplexen zahlen, eben diejenigen, die einen Imaginärteil von Null besitzen, wie Du ja selbst geschrieben hast. In einer komplexen Ebene mit x- und y-Koordinaten liegen sie demzufolge auf der x-Achse.
Weiterhin gibt es einen Fundamentalsatz, der aussagt, dass eine Gleichung n-ten Grades immer n Lösungen besitzt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Also dann zur Kontrolle :)
[mm] $x_1=1$
[/mm]
[mm] $x_2=0,3+0,95i$
[/mm]
[mm] $x_3=-0,8+0,59i$
[/mm]
[mm] $x_4=-0,8-0,59i$
[/mm]
[mm] %x_5=0,3-0,95i§
[/mm]
Wie bekomme ich jetzt aus den dingern wieder Polynome?
Muss ich jetzt einfach
[mm] $(0,3^2-0,95^2)\cdot{}((-0,8)^2-(0,59)^2)$ [/mm] Wo genau sind denn da jetzt Lineare reelle Polynome?
Die für die Nullstellen sidn ja welche aber wenn ich das so zusammenfüge doch nich mehr?
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Hallo Duckx,
> Also dann zur Kontrolle :)
>
> [mm]x_1=1[/mm]
> [mm]x_2=0,3+0,95i[/mm]
> [mm]x_3=-0,8+0,59i[/mm]
> [mm]x_4=-0,8-0,59i[/mm]
Ja, grob gerundet sind das die Nullstellen von f
> [mm]%x_5=0,3-0,95i§[/mm]
>
>
> Wie bekomme ich jetzt aus den dingern wieder Polynome?
> Muss ich jetzt einfach
> [mm](0,3^2-0,95^2)\cdot{}((-0,8)^2-(0,59)^2)[/mm] Wo genau sind denn
> da jetzt Lineare reelle Polynome?
Da es nur eine reelle Nullstelle gibt, bekommst du für die geforderte Darstellung als Produkt reeller linerarer und quadrat. Polynome nur einen linearen und 2 quadratische Polynome:
[mm] $f(x)=(x-1)\cdot{}(x^2+ax+b)\cdot{}(x^2+cx+d)$
[/mm]
Komplett in Linearfaktoren kannst du das nur über [mm] $\IC$ [/mm] zerlegen:
Mit den Nullstellen [mm] $x_1,x_2,...,x_3$ [/mm] ist das dann [mm] $f(x)=x^5-1=(x-x_1)(x-x_2)\cdot{}\ldots\cdot{}(x-x_5)$
[/mm]
Um die gesuchten reellen Quadratischen Faktoren zu bekommen, könntest du jeweils [mm] $(x-x_i)(x-\overline x_i)$ [/mm] ausrechnen, also die beiden Paare konjugierter Nullstellen wieder zusammenrechnen. Das wird wegen der groben Rundung aber "spannend" 
Alternativ kannst du direkt zu Beginn einen Linearfaktor, den dir die reelle Nullstelle [mm] $x_1=1$ [/mm] liefert, durch Polynomdivision abspalten:
[mm] $f(x)=x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$
[/mm]
Dann kannst du probieren, das verbleibende Polynom vom Grad 4, das keine reelle NST hat in das Produkt zweier reller quadr. Polynome aufzuspalten:
Möglicher Ansatz: [mm] $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
[/mm]
Ausmultiplizieren, nach Potenzen von x sortieren und Koeffizientenvergleich machen, um a,b,c,d zu bestimmen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Kannst du das ganze bitte ohne die ganzen variablen machen? :D da blick ich nich mehr durch :(
Ich bin doch schon soweit dass ich die NS hab,
wie kann ich von dort dann auf die Polynome schließen die ich benötige?
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Hallo nochmal,
Gern geschehen!
> Kannst du das ganze bitte ohne die ganzen variablen machen?
> :D da blick ich nich mehr durch :(
Wie bitte?? Ohne Variablen kannst du keine Mathematik betreiben.
>
> Ich bin doch schon soweit dass ich die NS hab,
> wie kann ich von dort dann auf die Polynome schließen die
> ich benötige?
Zusammensetzen:
[mm](x-1.Nullstelle)\cdot{}(x-2.Nullstelle)\cdot{}(x-3.Nullstelle)\cdot{}(x-4.Nullstelle)\cdot{}(x-5.Nullstelle)[/mm]
Aber das werden dann 5 lineare Polynome, von denen nur eines, nämlich [mm](x-1)[/mm], reell ist.
Wie du an die gewünschte Darstellung kommst, habe ich ausführlichst oben geschrieben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Also ich lese aus der Aufgabe heraus, dass ich quadratische und lineare polynome nutzen kann also nehm ich die gleichung:
$ [mm] f(x)=(x-1)\cdot{}(x^2+ax+b)\cdot{}(x^2+cx+d) [/mm] $
Ich frage mich allerdings, wie ich auch dieses [mm] (x^2+ax+b) [/mm] wie mache ich das mithilfe der Nullstellen?
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Hallo,
langsam ärgere ich mich über deine Einstellung bzw. darüber, dass du posts offenbar nicht liest und nur 3-4 Minuten nach ner Antwort schon wieder eine Frage stellst.
Das zeigt, dass du kein bisschen eigeninitiativ und gründlich nachdenkst.
> Also ich lese aus der Aufgabe heraus, dass ich quadratische
> und lineare polynome nutzen kann also nehm ich die
> gleichung:
>
> [mm]f(x)=(x-1)\cdot{}(x^2+ax+b)\cdot{}(x^2+cx+d)[/mm]
>
> Ich frage mich allerdings, wie ich auch dieses [mm](x^2+ax+b)[/mm]
> wie mache ich das mithilfe der Nullstellen?
Das hatte ich doch oben geschrieben.
Multipliziere die Paare von Linearfaktoren mit Nullstelle und komplex Konjugierter derselben wieder zusammen.
Ich hatte auch geschrieben, dass das nur schwerlich "gut" klappt, weil du so grob gerundet hast.
"Besser" der andere Ansatz!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
ja aber das habe ich doch gemacht oder nicht?
$ [mm] (x-1)\cdot{}(0,3^2-(0,95i)^2)\cdot{}((-0,8)^2-(0,59i)^2) [/mm] $
allerdings kommt da nicht die form raus, die du dort geschrieben hast :(
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Hallo nochmal,
> ja aber das habe ich doch gemacht oder nicht?
> [mm](x-1)\cdot{}(0,3^2-(0,95i)^2)\cdot{}((-0,8)^2-(0,59i)^2)[/mm]
Nein!
Du musst doch bloß in
[mm] $(x-1.Nullstelle)\cdot{}(x-2.Nullstelle)\cdot{}...$ [/mm] siehe oben
deine Nullstellen einsetzen und die beiden Paare von Linearfaktoren, die eine Nullstelle und die komplex Konjugierte dieser Nullstelle enthalten, ausmultiplizieren.
Das liefert dir neben $x-1$ zwei reelle quadrat. Polynome.
Aber wie gesagt, wirst du beim Zusammenrechnen "schummeln" müssen, weil du gerundet hast.
Und auch zum 100 Mal: Besser der andere Ansatz mit dem Koeffizientenvergleich
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok ich habe jetzt etwas verdammt viel rumprobiert aber komme einfach nicht drauf mithilfe deines letzten Ansatzes :(
gibt es eine Möglichkeit das Ergebnis ohne rumprobieren zu finden? Ich habe dafür nicht wirklich den nötigen Blick um zu erkennen, was ich benötige.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 So 28.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Duckx,
ausrechnen muss man hier schon ein bisschen was.
Ich spreche jetzt nur von den vier komplexen Nullstellen, von denen jeweils zwei konjugiert komplex zueinander sind. Aus dieser Eigenschaft kannst Du die Terme des von Dir gesuchten quadratischen Terms bestimmen. Du schreibst also jedes Paar von konjugiert komplexen Nullstellen als einen Term der Form
[mm] x^2 + ax +b [/mm]
Jetzt musst Du noch aus den konjugiert komplexen NS die Koeffizienten a und b bestimmen.
Okay, gehen wir von der allgemeinen Form aus mit
[mm] (x-x_1) \cdot (x-x_2) [/mm] dann ergibt dies ausmultipliziert
[mm] x^2 - (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 [/mm]
Wenn Du nun berücksichtigst, dass [mm] x_1 [/mm] konjugiert komplex zu [mm] x_2 [/mm] ist, also geschrieben werden kann als
[mm] x_1 = d + ie [/mm] und
[mm] x_2 = d - ie [/mm], dann ist also
[mm] x_1 + x_2 = 2d = a [/mm] und, wegen der dritten binomischen Formel,
[mm] x_1 x_2 = d^2 + e^2= b [/mm].
So entstehen die Koeffizienten in Deinen beiden quadratischen Ausdrücken.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 So 28.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok danke erst einmal, aber ich weiß nicht wie du auf den Ausruck:
$ [mm] x^2 [/mm] - [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] x + [mm] x_1 x_2 [/mm] $
bzw: $ [mm] (x-x_1) \cdot (x-x_2) [/mm] $
kommst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 So 28.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
das ist doch gerade der Ausdruck, der bei der Nullstellenzerlegung auftritt. Wenn Du alle fünf Nullstellen kennst, lässt sich die Funktion schreiben als
[mm] f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5) [/mm]
Ein Term ist reell, vier davon komplex mit je zwei konjugiert komplexen Termen.
Der Zusammenhang zwischen den beiden Zeilen entsteht durch das Ausmultiplizieren der beiden Klammern, mehr nicht.
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 28.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Also ich habe jetzt folgendes rausbekommen:
[mm] $(x-1)\cdot{}(x^2+0,618x+1)\cdot{}(x^2-1,618x+1)$
[/mm]
Ist das korrekt?
Allerdings habe ich nochmal eine Frage zu deiner aussage, dass:
[mm] $x_1x_2=d^2+e^2$ [/mm] wenn i quadriert wird, geht das dann nicht zu -1 also [mm] $d^2-e^2$ [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 So 28.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Ja, das sieht vernüftig aus.
Zu dem Term mit dem Multiplikanden kann ich nur sagen, dass die dritte binomische Formel ein Minuszeichen reinbringt, das [mm] i^2 = -1 [/mm] aber dieses Minus in ein Plus verwandelt.
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 28.10.2012 | | Autor: | Duckx |
oh man -.- ja vielen dank vielen dank für die Geduld :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 So 28.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Na das ist ja prima. Dann weisst Du, wie man an solche Aufgaben rangeht.
Viele Grüße,
Infinit
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