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| Aufgabe | Betrachte die Funktion
f(x) = [mm] \begin{cases} x^4*sin(1/x), & \mbox{} \mbox{ sonst} \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Wie oft ist diese Funktion im Punkt x0=0 differenzierbar? Geben Sie die Werte der existierenden Ableitungen an. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/169075,0.html
Eigentlich habe ich mich an der Diskussion zu dieser Aufgabe beteiligt. Dort ist aber nicht mehr mit einem Ergebnis zu rechnen.
Die Funktion ist ja in x0=0 stetig ergänzt. Aber wie ich damit rechnen kann, weiß ich nicht.
Ich habe erstmal die beiden ersten Ableitungen für x!=0 gebildet:
1. Ableitung:
f'(x) = [mm] 4*x^3*sin(1/x) [/mm] - [mm] x^2*cos(1/x) [/mm] = [mm] 4*x^2*(x*sin(1/x) [/mm] - cos(1/x))
2. Ableitung:
f''(x) = [mm] (12x^2-1)*sin(1/x)-6*x*cos(1/x) [/mm]
Schaut man sich die Graphen der Ableitungen an, sind sie ebenfalls in x0=0 stetig ergänzt. Mit der Aufgabe bin ich damit aber nicht weitergekommen. Sinus und Cosinus wird man ja nicht los. Was ist hier das KO-Kriterium für Differenzierbarkeit? Worauf muss ich achten?
Kann mir jemand einen Tipp zu dieser Aufgabe geben?
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Guten Tach
Also ein Funktion ist differenzierbar in einem Punkt x wenn der
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] existiert. Dass kannst du jetzt im Punkt 0 nachprüfen indem du in die Definition 0 einsetzt und den Grenzwert ausrechnest. Dann bekommst du die erste Ableitung heraus. Dann kannst du diese weiter differenzieren
Einen schönen Tach noch
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[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)-f(0)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)-0}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^4*sin(1/h)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} h^3* [/mm] sin(1/h) = 0
Dann habe ich den Wert der ersten Ableitung an der Stelle x0=0.
Aber wie geht es dann weiter?
Muss ich dann f(x) für x!=0 ableiten und dann hierfür prüfen, ob der Grenzwert existiert. Oder wie gehe ich vor? Ist dann für x=0 f'(x) wieder seperat definiert als f'(x)=0?
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so jetzt hast du herausgefunden dass
[mm] f'(x)=\begin{cases} x^2*(4*x*sin(\bruch{1}{x})-cos(\bruch{1}{x})), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}. [/mm] Jetzt musst du wieder die Voraussetzungen prüfen(Stetigkeit, diffbarkeit) und dann f'(x) differenzieren, wieder über den Differenzenquotienten
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