Funktion in eine Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 So 02.04.2006 | | Autor: | Hero2000 |
| Aufgabe | Entwickeln Sie für das bestimmte Integral I= [mm] \integral_{-a}^{a}{x*ln(x+1) dx} [/mm] ein von a abhängige Summenformel, indem Sie den Interanden in eine Potenzreihe nach Taylor entwickeln!.
Welche Bedindungen muss die Integrationsgrenze a erfüllen ? |
Also ich bin die sache folgender masse angegangen.
f(x)=x*ln(x+1) [mm] \to [/mm] f(0)=0
[mm] f'(x)=ln(x+1)*\bruch{x}{x+1} \to [/mm] f'(0)=0
[mm] f''(x)=\bruch{x+2}{(x+1)^2} \to [/mm] f''(0)=2
[mm] f'''(x)=-\bruch{x+3}{(x+1)^3} \to [/mm] f'''(0)=-3
[mm] f^4(x)=\bruch{2*(x+4)}{(x+1)^4} \to f^4(0)=8
[/mm]
[mm] f^5(x)=-\bruch{6*(x+5)}{(x+1)^5} \to f^5(0)=-30
[/mm]
.
.
.
so [mm] x*ln(x+1)=f(0)+f'(0)x+\bruch{f''(0)}{2!}x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}x^3+\bruch{f^4(0)}{4!}x^4+\bruch{f^5(0)}{5!}x^5...
[/mm]
[mm] x*ln(x+1)=0+0+\bruch{2}{2!}x^2+\bruch{-3}{3!}x^3+\bruch{8}{4!}x^4+\bruch{-30}{5!}x^5...
[/mm]
[mm] x^2+\bruch{x^3}{2}-\bruch{x^4}{3}+\bruch{x^5}{4}-...
[/mm]
aber wie kriege ich da jetzt ne Summen Formel draus.
[mm] x^2+ \summe_{n=3}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^n}{(n-1)!} [/mm] würde klappen aber ich habe es einfach durch ausprobieren raus gefunden und bin mir nicht sicher.
Welche Bedindungen muss die Integrationsgrenze a erfüllen ?
hmm a darf nicht -1 werden weil dann [mm] ln(0)=\infty
[/mm]
sonst fällt mir nix ein.
aber wie Integrier ich das jetzt
[mm] \integral_{-a}^{a}{x^2+ \summe_{n=3}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^n}{(n-1)!} dx} [/mm]
[mm] \integral_{-a}^{a}{x^2 dx}+\integral_{-a}^{a}{\summe_{n=3}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^n}{(n-1)!} dx} [/mm] so?
und was kommt da raus ?
weil wie hoch muss ich n ansetzt damit das ergebnis stimmt.
weil für n=5 würde da unbestimmt
[mm] \bruch{x^3}{3}+\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^4}{8}+\bruch{x^5}{30}-\bruch{x^6}{144} \Rightarrow \bruch{x^4}{8}+\bruch{x^5}{30}-\bruch{x^6}{144}
[/mm]
raus kommen bzw.
Bestimmt
[mm] \bruch{-a^5}{15}
[/mm]
aber bei n=6
kommt wieder was anderes raus
[mm] \bruch{-a^5*(a^2+28)}{420}
[/mm]
also hier weis ich irgendwie nicht mehr weiter.
Vielleicht hat jemand von euch einen Tipp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 So 02.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hero
schon deine 1. Ableitung ist falsch!
f'=ln(x+1) + x/(x+1) also + statt mal.
Ich seh grad, die 2. ist richtig, also wohl nur ein Tipfehler.
aber wenn du f''=1/(x+1) [mm] +1/(x+1)^{2} [/mm] schreibst, werden die weiteren Ableitungen und damit die Summenformel sicher einfacher!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Hero2000 |
so ich habe mich der sache nochmal angenommen mit f'(x) hast du recht muss ein + sein  habe ich hier auf meinen Block auch so stehen.
f(x)=x*ln(x+1) [mm] \to [/mm] $f(0)=0
[mm] f'(x)=ln(x+1)+\bruch{x}{x+1} \to [/mm] $f'(0)=0
[mm] f''(x)=\bruch{1}{x+1}+\bruch{1}{(x+1)^2} \to [/mm] $f''(0)=2
[mm] f'''(x)=-\bruch{1}{(x+1)^2}-\bruch{2}{(x+1)^3} \to [/mm] $f'''(0)=-3
[mm] f^4(x)=\bruch{2}{(x+1)^3}+\bruch{6}{(x+1)^4} \to $f^4(0)=8 [/mm]
[mm] f^5(x)=-\bruch{6}{(x+1)^4}-\bruch{24}{(x+1)^5} \to $f^5(0)=-30 [/mm]
aber die umformung ändert ja nix an der form
$ [mm] x\cdot{}ln(x+1)=f(0)+f'(0)x+\bruch{f''(0)}{2!}x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}x^3+\bruch{f^4(0)}{4!}x^4+\bruch{f^5(0)}{5!}x^5... [/mm] $
[mm] 0+0*x+\bruch{2}{2!}x^2+\bruch{-3}{3!}x^3+\bruch{8}{4!}x^4+\bruch{-30}{5!}x^5
[/mm]
[mm] \bruch{2}{2}x^2+\bruch{-3}{6}x^3+\bruch{8}{24}x^4+\bruch{-30}{120}x^5 \Rightarrow -\bruch{1}{4}x^5 +\bruch{1}{3}x^4-\bruch{1}{2}x^3+x^2
[/mm]
[mm] x^2+\bruch{x^3}{2}-\bruch{x^4}{3}+\bruch{x^5}{4}-... [/mm]
[mm] \summe_{i=2}^{n} (-1)^n*\bruch{x^n}{n-1}
[/mm]
so bis hier hin ist ja nicht viel anders
aber für mich stellt sich jetzt immernoch die frage wie hoch muss ich n ansetzt für die Reihe damit das Ergebnis stimmt.
[mm] \integral_{-a}^{a}{\summe_{i=2}^{n} (-1)^n*\bruch{x^n}{n-1}dx}
[/mm]
aber das ist für mich noch nicht so klar ? sonst denke ich mal das ich den Bildungsweg verstanden habe.
P.S habe eben nochmal mit einem Komilitonen gesprochen und der meinte das es in den meisten fällen reicht nach dem 5. Gleid aus zuhören
dem nach wäre die Reihe [mm] \bruch{1}{5}x^6-\bruch{1}{4}x^5 +\bruch{1}{3}x^4-\bruch{1}{2}x^3+x^2 [/mm] nach a und -
a zu integrieren.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{5}x^6-\bruch{1}{4}x^5 +\bruch{1}{3}x^4-\bruch{1}{2}x^3+x^2 dx}=\bruch{x^7}{35}-\bruch{x^6}{24}+\bruch{x^5}{15}-\bruch{x^4}{8}+\bruch{x^3}{3}
[/mm]
[mm] [\bruch{a^7}{35}-\bruch{a^6}{24}+\bruch{a^5}{15}-\bruch{a^4}{8}+\bruch{a^3}{3}]-[\bruch{-a^7}{35}-\bruch{-a^6}{24}+\bruch{-a^5}{15}-\bruch{-a^4}{8}+\bruch{-a^3}{3}]
[/mm]
da habe ich dann [mm] \bruch{2*a^7}{35}+\bruch{2*a^5}{15}+\bruch{2*a^3}{3}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 03.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hero
Vergiss vor lauter Rechnen nicht unsere Umgangsformen (begrüßung, nettes Ende
Du hast ja die Summenformel richtig, kannst das Integral also als unendliche Summe schreiben, WENN es konvergiert. Also bleibt nur die Untersuchung, für welche a es konvergiert!
Die Numeriker interessiert es dann, wie schnell es konvergiert, d.h. wieviele Glieder man praktisch berechnen muss, um das Ergebnis mit 1% oder 0,001% fehler zu haben. aber das hängt natürlich auch noch von a ab und war zum Glück hier nicht gefragt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Hero2000 |
Hallo leduart
sorry das ich die begrüßung vergessen habe. (bitte nicht böse auffassen)
Ich denke das ich es jetzt verstanden habe.
Ich danke dir für deine Tatkräftige unterstützung sowie für deine Ausführliche Schlusserklärung.
Schönen Abend euch allen noch
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