Funktion ist At-At-messbar < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei T die Standarttopologie auf [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die Funktion At-At-messbar ist.
[mm] f:\IR->\IR, f(x)=\begin{cases} 1, & wenn, x=0 \\ \bruch{1}{m}, & wenn, x=\bruch{m}{n} mit, n\in\IZohne{0},m\in\IN^{+} und ggt(|n|,m)=1 \\ 0, & wenn, x\in \IR ohne\IQ \end{cases} [/mm] |
So, um zu zeigen, dass f At-At-messbar ist muss man zeigen, dass [mm] f:\IR->\IR [/mm] T-T-stetig ist.
Das bedeutet: Für jedes [mm] T\in [/mm] T gilt, dass das Urbild von T wieder in T liegt.
Für x=0 ist das Urbild die leere Menge und die liegt in [mm] \IR^n.
[/mm]
Für [mm] x=\IR [/mm] ohne [mm] \IQ [/mm] ist das Urbild auch die leere Menge, zum Beispiel für Wurzel(2)
Das Schwierige wird wohl der dritte Fall sein. Ich hab mal ein Beispiel genommen, um mir ein Bild zu machen.
[mm] x=\bruch{2}{1}, [/mm] dann ist [mm] f(2)=\bruch{1}{2} [/mm] und das Urbild [mm] f^{-1}(2)=leere [/mm] Menge.
Nur muss man dies allgemein zeigen. Hat da einer ne Idee?
Es wäre nett, wenn mir einer bei der Aufgabe helfen könnte.
Sind meine bisherigen Überlegungen falsch und wenn ja, wie wäre der richtige Ansatz?
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 So 24.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei T die Standardtopologie auf [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass
> die Funktion At-At-messbar ist.
> [mm]f:\IR->\IR, f(x)=\begin{cases} 1, & wenn, x=0 \\ \bruch{1}{m}, & wenn, x=\bruch{m}{n} mit, n\in\IZohne{0},m\in\IN^{+} und ggt(|n|,m)=1 \\ 0, & wenn, x\in \IR ohne\IQ \end{cases}[/mm]
Ich vermute mal, mit At-At ist ![[]](/images/popup.gif) das hier nicht gemeint?
Ich vermute es geht um die von $T$ erzeugte Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm] Ist das korrekt?
> So, um zu zeigen, dass f At-At-messbar ist muss man zeigen,
> dass [mm]f:\IR->\IR[/mm] T-T-stetig ist.
Nun, wenn sie $T$-$T$-stetig ist, ist sie $At$-$At$-messbar. Aber nicht umgekehrt im allgemeinen!!!
Diese Funktion hier ist auch alles andere als stetig.
> Das bedeutet: Für jedes [mm]T\in[/mm] T gilt, dass das Urbild von
> T wieder in T liegt.
Das wird es nicht.
> Für x=0 ist das Urbild die leere Menge und die liegt in
> [mm]\IR^n.[/mm]
Was meinst du mit "fuer $x = 0$"? Was ist hier die offene Menge, deren Urbild du betrachtest?
> Für [mm]x=\IR[/mm] ohne [mm]\IQ[/mm] ist das Urbild auch die leere Menge,
> zum Beispiel für Wurzel(2)
Also ist $x$ jetzt eine Menge oder ein Element?
> Das Schwierige wird wohl der dritte Fall sein. Ich hab mal
> ein Beispiel genommen, um mir ein Bild zu machen.
> [mm]x=\bruch{2}{1},[/mm] dann ist [mm]f(2)=\bruch{1}{2}[/mm] und das Urbild
> [mm]f^{-1}(2)=leere[/mm] Menge.
> Nur muss man dies allgemein zeigen. Hat da einer ne Idee?
>
> Es wäre nett, wenn mir einer bei der Aufgabe helfen
> könnte.
>
> Sind meine bisherigen Überlegungen falsch und wenn ja, wie
> wäre der richtige Ansatz?
Ich glaube, du bist auf dem Holzweg. Die Funktion ist schliesslich nicht stetig.
LG Felix
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