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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Sa 13.06.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Man entwickle die Funktion f(x,y) = [mm] \bruch{cos(x)}{cos(y)} [/mm] um den Punkt (0,0) nach der Taylorschen Formel bis zu den Gliedern 2ter Ordnung |
Hallo!
Wieder eine Aufgabe (Klausurvorbereitung) bei der ich gerade scheitere.
hier muss ich auf 2 unabhängige variablen aufpassen - ich bin nur die normale reihenentwicklung von taylor gewohnt und weiß deswegen nicht, wie ich hier anfangen muss?
soweit ich in meinem skriptum finden konnte gilt folgendes:
F(t) := [mm] f(x_0 [/mm] + t * h, [mm] y_0 [/mm] + t * k)
F(t) = F(0) + [mm] \bruch{F'(0)}{1!} [/mm] * t + [mm] \bruch{F''(0)}{2!} [/mm] * [mm] t^2
[/mm]
ich berechne also:
F'(0) = df
F''(0) = [mm] d^2 [/mm] f
wobei d := (h * [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] + k * [mm] \bruch{d}{dy})
[/mm]
und
[mm] d^2 [/mm] := [mm] (h^2 [/mm] * [mm] \bruch{d^2}{dx^2} [/mm] + +2hk * [mm] \bruch{d^2}{dx dy} [/mm] + k * [mm] \bruch{d^2}{dy^2})
[/mm]
und berechne im prinzip dann nur:
f(x,y) = f(0,0) + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] d f(0,0) + [mm] d^2 [/mm] f(0,0)
womit ich dann fertig wäre?
stimmt das soweit?
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo babapapa,
die Formeln, die du angibst, sind nicht die, welche
du hier wirklich brauchst.
Du brauchst jene für Funktionen [mm] f:\IR^n\to\IR,
[/mm]
allerdings nur für den Fall n=2. Für die Berechnung
des Taylorpolynoms 2. Ordnung brauchst du die
partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung,
ausgewertet im Entwicklungspunkt (0/0).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 So 14.06.2009 | | Autor: | babapapa |
hmm ich bin gerade verwirrt, da die Formel für mich das eigentlich aussagen.
Was ich bisher gemacht habe:
[mm] x_0 [/mm] = 0
[mm] y_0 [/mm] = 0
x - [mm] x_0 [/mm] = h
y - [mm] y_0 [/mm] = k
=> x = h
=> y = k
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{- sin(x)}{cos(y)} [/mm] => fx(0,0) = 0
[mm] \bruch{d}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{sin(x) * cos(x)}{(cos(y))^2} [/mm] => fy(0,0) = 0
[mm] \bruch{d^2}{dxdy} [/mm] = [mm] \bruch{-sin(x) * sin(y)}{(cos(y))^2} [/mm] => fxy(0,0) = 0
[mm] \bruch{d^2}{dy^2} [/mm] = [mm] \bruch{(((sin(y))^2 + 1) * cos(x)}{(cos(y))^3} [/mm] => fyy(0,0) = 1
[mm] \bruch{d^2}{dx^2} [/mm] = [mm] \bruch{- cos(x)}{cos(y)} [/mm] => fxx(0,0) = -1
f(x,y) = [mm] f(x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{1!}*df(x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!}*d^2f(x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] +
= [mm] f(x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] + h * fx(x0,y0) + k* fy(x0,y0) + [mm] (h^2 [/mm] * fxx(x0,y0) + 2hk * fxy(x0,y0) + [mm] k^2 [/mm] * fyy(x0,y0)) + [mm] \bruch{1}{2!}
[/mm]
= 1 + [mm] \bruch{-h^2 + k^2}{2!} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{-x^2 + y^2}{2}
[/mm]
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>> hmm ich bin gerade verwirrt, da die Formeln für mich das
>> eigentlich aussagen.
> ... möglicherweise habe ich die Schreibweisen missverstanden,
> die ich in dieser Form noch nie angetroffen habe ...
Ich hab mir das Ganze jetzt nochmal angeschaut.
>> Was ich bisher gemacht habe:
>> [mm] x_0 [/mm] = 0
>> [mm] y_0 [/mm] = 0
>> x - [mm] x_0 [/mm] = h
>> y - [mm] y_0 [/mm] = k
>> => x = h
>> => y = k
>> [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{- sin(x)}{cos(y)} [/mm] => fx(0,0) = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>> [mm] \bruch{d}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{\red{sin(x)} * cos(x)}{(cos(y))^2} [/mm] => fy(0,0) = 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
statt sin(x) müsste da sin(y) stehen !
>> [mm] \bruch{d^2}{dxdy} [/mm] = [mm] \bruch{-sin(x) * sin(y)}{(cos(y))^2} [/mm] => fxy(0,0) = 0
>> [mm] \bruch{d^2}{dy^2} [/mm] = [mm] \bruch{(((sin(y))^2 + 1) * cos(x)}{(cos(y))^3} [/mm] => fyy(0,0) = 1
das wurde falsch, weil schon [mm] \bruch{d}{dy} [/mm] falsch war ...
>> [mm] \bruch{d^2}{dx^2} [/mm] = [mm] \bruch{- cos(x)}{cos(y)} [/mm] => fxx(0,0) = -1
Die zahlenmässigen Werte der Ableitungen sind trotz
der Fehler richtig ...
>> f(x,y) = [mm] f(x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{1!}*df(x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!}*d^2f(x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] +
>> = [mm] f(x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] + h * fx(x0,y0) + k* fy(x0,y0) + [mm] (h^2 [/mm] * fxx(x0,y0) + 2hk * fxy(x0,y0) + [mm] k^2 [/mm] * fyy(x0,y0)) [mm] \red{+ } \,\bruch{1}{2!}
[/mm]
Das müsste natürlich eine Multiplikation sein ...
>> = 1 + [mm] \bruch{-h^2 + k^2}{2!} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{-x^2 + y^2}{2} [/mm]
Also, du hattest Recht, dein Lösungsweg ist (abgesehen
von dem Fehler bei einer partiellen Ableitung) korrekt.
Und ich habe wieder mal was über elegante Schreibweisen
gelernt 
LG Al-Chw.
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