Funktion mit best. Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finden Sie zwei Teilmengen [mm] X_1, X_2 \subset \IR [/mm] und eine Funktion f: [mm] X_1 \cup X_2 \to [/mm] R mit folgenden Eigenschaften: [mm] f_X_1: X_1 \to \IR [/mm] und [mm] f_X_2: X_2 \to \IR [/mm] sind stetig, aber f ist an keinem Punkt von [mm] X_1 \cup X_2 [/mm] stetig. |
Hallo zusammen,
letztes Thema für heute - versprochen. :)
Wenn ich richtig liege auch noch ein schnell abzuhandelndes. Kann man nicht einfach nehmen:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & x \in \IQ \\ 0, & x \in \IR\ \backslash \IQ \end{cases}
[/mm]
also die Dirichlet-Funktion?
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Hiho,
> letztes Thema für heute - versprochen. :)
Fragen sind nie verkehrt, nur wenn man sie postet und Lösungen erwartet werden hier einige grantig 
> Kann man nicht einfach nehmen:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & x \in \IQ \\ 0, & x \in \IR\ \backslash \IQ \end{cases}[/mm]
>
> also die Dirichlet-Funktion?
Ja.
Wenns dir klar ist, dass die das oben erfüllt => ok.
Ansonsten => machs dir klar.
MFG,
Gono.
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> Fragen sind nie verkehrt, nur wenn man sie postet und
> Lösungen erwartet werden hier einige grantig
Puh. :)
>
> Ja.
> Wenns dir klar ist, dass die das oben erfüllt => ok.
> Ansonsten => machs dir klar.
>
Ich hoffe schon, vielleicht aber nicht in der nötigen Tiefe. Dass die Funktion auf den Teilmengen stetig ist, ist klar, da sie sich in dem Fall zu f(x) = 1 bzw. f(x) = 0 reduziert und konstante Funktionen sind immer stetig.
Auf der Vereinigung ist sie nicht stetig, da in jeder beliebigen Umgebung jeder rationalen (irrationalen) Zahl irrationale (rationale) Zahlen liegen, die Funktion also zwischen 1 und 0 alterniert.
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Hiho,
> Ich hoffe schon, vielleicht aber nicht in der nötigen
> Tiefe. Dass die Funktion auf den Teilmengen stetig ist, ist
> klar, da sie sich in dem Fall zu f(x) = 1 bzw. f(x) = 0
> reduziert und konstante Funktionen sind immer stetig.
Ja. Oder: Folgenkriterium.
> Auf der Vereinigung ist sie nicht stetig, da in jeder
> beliebigen Umgebung jeder rationalen (irrationalen) Zahl
> irrationale (rationale) Zahlen liegen, die Funktion also
> zwischen 1 und 0 alterniert.
Ja. Aber auch hier: Folgenkriterium!
Zeige: Für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] gibt es eine Folge [mm] $x_n \to [/mm] x$ so dass [mm] $\lim_{n\to\infty} f(x_n) \not= [/mm] f(x)$
Nimm halt für rationale x eine irrationale Folge und umgekehrt 
MFG,
Gono.
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Dankeschön!
> > Ich hoffe schon, vielleicht aber nicht in der nötigen
> > Tiefe. Dass die Funktion auf den Teilmengen stetig ist, ist
> > klar, da sie sich in dem Fall zu f(x) = 1 bzw. f(x) = 0
> > reduziert und konstante Funktionen sind immer stetig.
>
> Ja. Oder: Folgenkriterium.
Darf ich hier aus Faulheit bei "Jede konstante Funktion ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig" bleiben? Oder darf das nicht vorausgesetzt werden?
> > Auf der Vereinigung ist sie nicht stetig, da in jeder
> > beliebigen Umgebung jeder rationalen (irrationalen) Zahl
> > irrationale (rationale) Zahlen liegen, die Funktion also
> > zwischen 1 und 0 alterniert.
>
> Ja. Aber auch hier: Folgenkriterium!
> Zeige: Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] gibt es eine Folge [mm]x_n \to x[/mm] so
> dass [mm]\lim_{n\to\infty} f(x_n) \not= f(x)[/mm]
>
> Nimm halt für rationale x eine irrationale Folge und
> umgekehrt
Versuch:
Beweis der Unstetigkeit von f(x) auf U1 [mm] \cup [/mm] U2: Sei [mm] a_n [/mm] = i - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{n} [/mm] mit i [mm] \in \IQ. [/mm] Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = i sowie [mm] a_n [/mm] irrational für alle n [mm] \in \IN, [/mm] also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 0 = [mm] f(a_n). [/mm]
Ist das so ok für irrationale Zahlen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dankeschön!
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> > > Ich hoffe schon, vielleicht aber nicht in der nötigen
> > > Tiefe. Dass die Funktion auf den Teilmengen stetig ist, ist
> > > klar, da sie sich in dem Fall zu f(x) = 1 bzw. f(x) = 0
> > > reduziert und konstante Funktionen sind immer stetig.
> >
> > Ja. Oder: Folgenkriterium.
>
> Darf ich hier aus Faulheit bei "Jede konstante Funktion ist
> auf dem gesamten Definitionsbereich stetig" bleiben? Oder
> darf das nicht vorausgesetzt werden?
>
> > > Auf der Vereinigung ist sie nicht stetig, da in jeder
> > > beliebigen Umgebung jeder rationalen (irrationalen) Zahl
> > > irrationale (rationale) Zahlen liegen, die Funktion also
> > > zwischen 1 und 0 alterniert.
> >
> > Ja. Aber auch hier: Folgenkriterium!
> > Zeige: Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] gibt es eine Folge [mm]x_n \to x[/mm]
> so
> > dass [mm]\lim_{n\to\infty} f(x_n) \not= f(x)[/mm]
> >
> > Nimm halt für rationale x eine irrationale Folge und
> > umgekehrt
>
> Versuch:
> Beweis der Unstetigkeit von f(x) auf U1 [mm]\cup[/mm] U2: Sei [mm]a_n[/mm] =
> i - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{n}[/mm] mit i [mm]\in \IQ.[/mm] Dann ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = i sowie [mm]a_n[/mm] irrational
> für alle n [mm]\in \IN,[/mm] also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm]
> = 1 [mm]\not=[/mm] 0 = [mm]f(a_n).[/mm]
>
> Ist das so ok für irrationale Zahlen?
Ja
FRED
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Schön :)
Und für rationale dann z.b. [mm] a_n [/mm] = i - 1/n oder einfach [mm] a_n [/mm] = i?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 29.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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