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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 08.06.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen folgender Funktion an:
[mm] \left| 2x-\left| x-1\right| \right| =x+\left| 2x+1\right| [/mm] |
Jetzt hab ich mir überlegt, dass was auf der rechten Seite steht ist immer positiv + etwas positives(im Betrag auf der rechten Seite kann also nichts negativ werden da 2x+1 somit auch immer positiv ist?)
Dann kann links der äußere Betrag auch nicht negativ werden und ich brauche nur eine Fallunterscheidung für [mm] \left| x-1\right| [/mm] machen...
kann man so vorgehen oder ist die Denkweise vollkommen falsch?
Vorrausgesetzt man kann so vorgehen, dann hääte ich ja nur die eine Fallunterscheidung für den inneren Betrag:
x-1<=0
x<=1
1.Fall x<=1
2x-[-(x-1)])=x+2x+1
2x+x-1=x+2x+1
-1=1
Jetzt hab ich ein Problem... das würde doch im Prinzip heissen, dass es für diesen Fall keine Lösungen gibt oder?
2.Fall wäre x>1:
2x-x+1=x+2x+1
-x=x ...
Keine Lösung?!
Bin mir da sehr unsicher ob ich jetzt überhaupt einen richtigen Lösungsansatz hatte, nunja bin für Hilfe wie immer sehr dankbar:)
besten Gruß,
tedd
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> $ [mm] \left| 2x-\left| x-1\right| \right| =x+\left| 2x+1\right| [/mm] $
Hallo Tedd,
ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich dir helfen kann, aber ich kann es ja mal versuchen 
Allerdings ist mir deine Denkweise noch nicht ganz klar.
> Jetzt hab ich mir überlegt, dass was auf der rechten Seite
> steht ist immer positiv
Auf der rechten Seite steht x+|2x+1|.
Warum ist das deiner Meinung nach immr positiv? Weil da ein Betrag steht?
> + etwas positives (im Betrag auf der
> rechten Seite kann also nichts negativ werden da 2x+1 somit
> auch immer positiv ist?)
Versteh ich das richtig?
Du sagst, 2x+1 ist immer positiv, da es im Betrag steht?
Wieso kann deiner Meinung nach im Betrag nichts negativ werden?
2x+1 muss nicht positiv sein, was ist, wenn x z.B. -5 ist?
Oder habt ihr vorausgesetzt, das x positiv ist?
Hmm, vielleicht irre ich mich, aber ich habe das Gefühl, dass du vielleicht den Betrag nicht ganz richtig verstanden hast
[ist nicht böd gemeint].
Die Definition heißt ja:
[mm] |a|=\begin{cases} a, & \mbox{für } a\ge0 \mbox{ } \\ -a, & \mbox{für } a<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
In deinem Fall für den Betrag auf der rechten Seite hast du dann ja quasi a=2x+1.
Da du x nicht kennst, kannst du nicht sagen, ob a größer, kleiner oder gleich Null ist, und weißt somit nicht, welchen Fall du aus der Definition anwenden muss.
Also musst du eine Fallunterscheidung machen, in der du beide möglichen Fälle betrachtest.
Fall 1:
Wir nehmen an: a ist größer oder gleich 0.
Dann wäre nach der Definition: |a|=a, also in deinem Fall: |2x+1| = 2x+1
Addieren wir nun noch das x dazu: x+2x+1 = 3x+1
Fall 2:
Wir nehmen an: a ist kleiner 0.
Dann wäre nach der Definition: |a|=-a, also in deinem Fall:
|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1
ddieren wir nun noch das x dazu: x+(-2x-1)=x-2x-1=-x-1
Vielleicht hilft dir das ein wenig weiter.
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 So 08.06.2008 | | Autor: | tedd |
Hm neein, wir haben nciht vorrausgesetzt, dass x immer positiv ist.
Dachte nur ich könnte das sagen weil da steht [mm] x=\left| ...\right|
[/mm]
aber das stimmt dann ja wohl nicht.
Ich bin für die Hilfe dankbar und weis, dass das nicht bös gemeint ist ;)
ich setze mich gleich nochmal dran und versuchs dann mit der Fallunterscheidung zu lösen wobei ich dann nochmal überlegen muss ob ich dann wirklich 3 Stück machen muss...
Danke und Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 08.06.2008 | | Autor: | tedd |
Ookay ich habe jetzt nochmal drübergeschaut aber weis nicht mit welchem Betrag/welcher Fallunterscheidung ich anfangen muss :(
Gruß,
tedd
Beim dritten Anlauf bin ich jetzt soweit und habe geschaut was bei welchem x passiert.
Also für den Betrag auf der rechten Seite gilt:
2x+1<=0
[mm] x<=-\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] -(2x+1) [mm] \gdw [/mm] (-2x-1)
[mm] x>-\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] (2x+1)
für den inneren Betrag auf der linken Seite der Funktion gilt:
x-1<=0
x<=1 [mm] \Rightarrow [/mm] -(x-1) [mm] \gdw [/mm] (-x+1)
x>1 [mm] \Rightarrow [/mm] (x-1)
für den äußeren Betrag gilt einmal mit negativem inneren Betrag:
2x-[-(x-1)]<=0
2x+x-1<=0
[mm] x<=\bruch{1}{3} \Rightarrow [/mm] -(2x+x-1) [mm] \gdw [/mm] (-3x+1)
[mm] x>\bruch{1}{3} \Rightarrow [/mm] (2x+x-1) [mm] \gdw [/mm] (3x-1)
und einmal mit positivem inneren Betrag:
2x-(x-1)<=0
2x-x+1<=0
x<=-1 [mm] \Rightarrow [/mm] -(2x-x+1) [mm] \gdw [/mm] (-x-1)
Da x aber >1 entfällt dieser Fall hier
x>-1 [mm] \Rightarrow [/mm] (2x-x+1) [mm] \gdw [/mm] (x+1)
Also gibt es folgende Fälle:
1. Fall:
[mm] x<=-\bruch{1}{2} [/mm] dann ist x auch automatisch < 1 und < [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
(x kann nicht [mm] <=-\bruch{1}{2} [/mm] sein und gleichzeitig >1 oder [mm] >\bruch{1}{3})
[/mm]
Also gilt hier :
-2x-x+1=-2x-1
[mm] \gdw [/mm] x=2 [mm] \not= x<=-\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] für 1. Fall keine Lösung.
2. Fall:
[mm] \bruch{1}{3}>x>-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] -2x-x+1=2x+1
[mm] \gdw [/mm] x=0 ?
3. Fall:
[mm] 1>=x>-\bruch{1}{2}>\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x+x-1=x+2x+1
[mm] \gdw [/mm] 1=-1 [mm] \Rightarrow [/mm] für 3. Fall keine Lösung.
4. Fall:
x>1
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x-x+1=x+2x+1
[mm] \gdw [/mm] x=0 [mm] \not= [/mm] x>1 also für den 4.Fall keine Lösung.
Ich weis nicht ob ich jetzt irgendwas übersehen habe und bin mir auch noch nicht sicher ob es einen einfacheren Weg gibt aber vielleicht ist das so ja evtl doch richtig gelöst ;)
Gruß,
tedd
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Hi, tedd,
also: ich würd' "von innen nach außen" arbeiten, d.h. mit |x-1| beginnen.
Demnach lautet Dein 1. Fall: x-1 [mm] \ge [/mm] 0 (bzw. x [mm] \ge [/mm] 1)
Da dann auch gleich 2x+1 > 0 ist, geht dieser Fall recht schön:
|2x - x + 1| = 3x + 1
<=> |x + 1| = 3x + 1
Und wieder hat Du Glück, weil für x [mm] \ge [/mm] 1 auch x+1 [mm] \ge [/mm] 0 ist, demnach:
x + 1 = 3x + 1, woraus Du x=0 erhältst, was Dir jedoch nicht hilft,
da eben x [mm] \ge [/mm] 1 als Voraussetzung steht.
Dieser Fall bringt Dir also keine Lösung Deiner Gleichung.
Der 2. Fall ist x < 1.
Und den probierst Du nun selbst!
Aber Vorsicht! Hier gibt's nach meiner Rechnung 3 (drei) Unterfälle:
(2a) 1/3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
(2b) -1/2 [mm] \ge [/mm] x < 1/3
(2c) x < -1/2
Am Ende erhältst Du die einzige Lösung Deiner Gleichung, nämlich: x=0.
Viel Glück!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 So 08.06.2008 | | Autor: | tedd |
Ja stimmt habs jetzt so gemacht...(siehe 2ter jetzt bearbeiteter Frageartikel) :)
Ich erhalte nur für den Fall
[mm] \bruch{1}{3}>x>-\bruch{1}{2} [/mm] die Lösung x=0...
Hui das war ganz schön anstrengend.
Danke für die Hilfe
Gruß,
tedd
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