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| Aufgabe | Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f(x,y) = [mm] 4x^{2}*(x^{2} -2)*(y^{2}-4) +y^{2} [/mm] |
Hallo,
also wie oben angegeben sollen die lokalen Extrema bestimmt werden, dafür muss ich ja alle meine Punkte ermitteln von der ersten Ableitung.
Mein Problem ist aber, dass ich nur auf die ersten 3 Punkte komme und laut meiner Lösung noch 8 Punkte fehlen. Ich weiß aber nicht wie man darauf kommt.
Ich habe zuerst die Funktion ausgeklammert.
f(x,y) = [mm] 4x^{4}y^{2}-16x^{4}-8x^{2}y^{2}+32x^{2}+y^{2}
[/mm]
erste Ableitung
fx = [mm] 16x^{3}y^{2}-64x^{3}-16xy^{2}+64x
[/mm]
fy = [mm] 8x^{4}y-16x^{2}y+2y
[/mm]
zweite Ableitung
fxx= [mm] 48x^{2}y^{2}-192x^{2}-16y^{2}+64
[/mm]
fyy= [mm] 8x^{4}-16x^{2}+2
[/mm]
fxy= [mm] 32x^{3}y-32xy
[/mm]
Bedingung fx=0: [mm] 16x^{3}y^{2}-64x^{3}-16xy^{2}+64x=0
[/mm]
[mm] x^{3}y^{2}-4x^{3}-xy^{2}+4x=0
[/mm]
[mm] x*(x^{2}y^{2}-4x^{2}-xy^{2}+4)=0
[/mm]
also x =0
Bedingung fy=0: [mm] 8x^{4}y-16x^{2}y+2y=0
[/mm]
[mm] 4x^{4}y-8x^{2}y+y=0
[/mm]
[mm] y*(4x^{4}-8x^{2}+1)=0
[/mm]
also y =0
wenn ich jetzt x =0 in fy einsetze, bekomme ich meinen ersten Punkt
P1 (0,0)
wenn ich y=0 in fx einsetze, bekomme ich meinen zweiten Punkt und dritten Punkt
P2 (1,0)
P3 (-1,0)
Kann mir bitte jemand sagen wie ich weiter machen muss um die 8 weiteren Punkte zu bekommen?
LG Summerlove
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 So 25.03.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo summerlove,
Dein Ansatz ist okay, auch habe ich keine Rechenfehler finden können. Was Du bisher betrachtest hast, ist der einfache Fall, dass der erste Multiplikand in einem Ausdruck Null wird. Ein Produkt kann aber auch dadurch Null werden, dass einer der Multiplikanden zu Null wird.
Was Du jetzt als nächstes machen musst, ist, die Nullstellen Deiner Ausdrücke, die in den Klammern stehen, zu finden.
Also
[mm] x^2y^2 - 4 x^2 - xy^2 + 4 = 0 [/mm] und
[mm] 4x^4 - 8x^2 + 1 = 0 [/mm]
Ein kleiner Tipp: Wenn Du bei der zweiten Gleichung [mm] z = x^2 [/mm] setzt, kommst Du wieder auf eine quadratische Gleichung, die einfach zu lösen ist. Danach wieder rücksubstituieren.
Viel Spaß beim Rechnen,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 So 25.03.2012 | | Autor: | summerlove |
Vielen Dank, das mit der Substitution war ein guter Tipp, ich hab das Ergebnis jetzt raus :)
LG Summerlove
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| Aufgabe | Berechnen sie die lokalen Extrema der Funktion
f(x,y)= [mm] 4xy^{2}+40xy-8y^{2} [/mm] - [mm] 80y+3x^{3} [/mm] |
Hallo,
ich wollte jetzt kein neues Thema aufmachen, das ist jetzt eine andere Aufgabe. Hier komme ich mit Substitution leider nicht weiter.
1.Ableitung
fx = [mm] 4y^{2}+40y+9x^{2}
[/mm]
fy= 8xy+40x-16y-80
2.Ableitung
fxx= 18x
fyy= 8x-16
fxy= 8y+40
Bedingung: fx=0: [mm] 4y^{2}+40y-9x^{2}=0
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{-4y^{2}-40y}{9}
[/mm]
Bedingung: fy=0: 8xy+40x-16y-80=0
xy+5x-2y-10=0
[mm] x^{2}y^{2}+25x^{2}-4y^{2}-100=0
[/mm]
dann hab ich [mm] x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{-4y^{2}-40y}{9} [/mm] eingesetzt in fy=0
am Ende bekomme ich [mm] y^{3}+44y^{2}+250y=-225
[/mm]
nun weiß ich aber nicht wie ich weiter vorgehen soll.
LG Summerlove
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Hallo summerlove,
> Berechnen sie die lokalen Extrema der Funktion
>
> f(x,y)= [mm]4xy^{2}+40xy-8y^{2}[/mm] - [mm]80y+3x^{3}[/mm]
> Hallo,
>
> ich wollte jetzt kein neues Thema aufmachen, das ist jetzt
> eine andere Aufgabe. Hier komme ich mit Substitution leider
> nicht weiter.
>
> 1.Ableitung
>
> fx = [mm]4y^{2}+40y+9x^{2}[/mm]
> fy= 8xy+40x-16y-80
>
> 2.Ableitung
>
> fxx= 18x
> fyy= 8x-16
> fxy= 8y+40
>
>
> Bedingung: fx=0: [mm]4y^{2}+40y-9x^{2}=0[/mm]
> [mm]x^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{-4y^{2}-40y}{9}[/mm]
>
> Bedingung: fy=0: 8xy+40x-16y-80=0
> xy+5x-2y-10=0
>
> [mm]x^{2}y^{2}+25x^{2}-4y^{2}-100=0[/mm]
>
> dann hab ich [mm]x^{2}[/mm] = [mm]\bruch{-4y^{2}-40y}{9}[/mm] eingesetzt in
> fy=0
>
> am Ende bekomme ich [mm]y^{3}+44y^{2}+250y=-225[/mm]
>
> nun weiß ich aber nicht wie ich weiter vorgehen soll.
>
Versuche die partielle Ableitung von f nach y zu faktorisieren.
> LG Summerlove
>
Gruss
MathePower
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