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Hey.
Eine wirkliche Aufgabe ist es nicht, stattdessen möchte ich nur verstehen, wie das Rechnen mit Funktionen zweier Variabler funktioniert.
In meinem Skript zur Physikalischen Chemie erklärt mein Dozent folgendes:
Funktion sei: z = f(x,y)
Sie repräsentiere eine thermodynamische Zustandsfunktion, d.h. sie hängt nur vom jeweiligen Zustand ab, nicht vom Weg in den Zustand. Es kommt bei einer Änderung also nur auf die Beträge drauf an, nicht auf ihre Reihenfolge. Damit ist:
[mm] \Delta [/mm] z = z2 - z1 = f(x2,y2) - f(x1,y1)
Als nächstes betrachtet er die Fläche eines Rechtecks mit der Funktion z = xy . Die Fläche wird nun um [mm] \Delta [/mm] x und [mm] \Delta [/mm] y vergrößert. Mein Dozent erhält folgende Gleichung:
$ z + [mm] \Delta [/mm] z = (x + [mm] \Delta [/mm] x) (y + [mm] \Delta [/mm] y) = xy + [mm] x\Delta [/mm] y + [mm] y\Delta [/mm] x + [mm] \Delta x\Delta [/mm] y $
Mir ist zwar schleierhaft, wie er auf diese Gleichung kommt, aber nach Ausrechnen stimmt sie zumindest. Aber ab dem nächsten, erscheint es mir nicht mehr als richtig.
Denn nun schreibt mein Dozent, dass sich der Zuwachs $ [mm] \Delta [/mm] z $ also als $ [mm] x\Delta [/mm] y + [mm] y\Delta [/mm] x + [mm] \Delta x\Delta [/mm] y $ darstellen lässt, will aber $ [mm] \Delta x\Delta [/mm] y $ aufgrund ihrer angeblichen minimalen Größe vernachlässigen und erhält somit in differentieller Schreibweise für die Änderung:
dz = x * dy + y * dx
Nun halte ich allerdings $ [mm] \Delta x\Delta [/mm] y $ nicht für zu gering, um es einfach wegzulassen. Bei wirklich sehr kleinen Differenzen mag das zwar zutreffen, aber ganz allgemein ist dies meiner Meinung nach ein zu großer Fehler dann. Wieso kann man das also einfach so machen?
Weiterhin verstehe ich diese differentielle Schreibweise nicht. Was soll mir dieses d nun sagen? Steht das einfach nun für [mm] \Delta [/mm] ? Warum benutzt man es dann nicht einfach weiter? Ich glaube ich habe das früher in der Schule schon bei Integrationen gesehen und damals schon nicht verstanden, warum es dabei war. Irgendwann war es dann aber auch völlig verschwunden.
Ich hoffe mir kann das jemand erklären. Vielen Dank für eure Hilfe.
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Hallo Clawfinger,
ich habe mal den Quelltext Deines Artikels durchgesehen und diverse Dinge so geändert, dass jetzt alles dargestellt wird. Vorher war die Frage nicht wirklich verständlich.
> Hey.
> Eine wirkliche Aufgabe ist es nicht, stattdessen möchte
> ich nur verstehen, wie das Rechnen mit Funktionen zweier
> Variabler funktioniert.
Nein, nicht ganz. Hier geht es um die Differentialrechnung von Funktionen zweier Veränderlicher. Das ist nur ein Teil des ganzen "Rechnens" damit.
> In meinem Skript zur Physikalischen Chemie erklärt mein
> Dozent folgendes:
>
> Funktion sei: z = f(x,y)
> Sie repräsentiere eine thermodynamische Zustandsfunktion,
> d.h. sie hängt nur vom jeweiligen Zustand ab, nicht vom
> Weg in den Zustand. Es kommt bei einer Änderung also nur
> auf die Beträge drauf an, nicht auf ihre Reihenfolge.
> Damit ist:
> [mm]\Delta[/mm] z = z2 - z1 = f(x2,y2) - f(x1,y1)
> Als nächstes betrachtet er die Fläche eines Rechtecks
> mit der Funktion z = xy . Die Fläche wird nun um [mm]\Delta[/mm] x
> und [mm]\Delta[/mm] y vergrößert. Mein Dozent erhält folgende
> Gleichung:
>
> [mm]z + \Delta z = (x + \Delta x) (y + \Delta y) = xy + x\Delta y + y\Delta x + \Delta x\Delta y[/mm]
>
> Mir ist zwar schleierhaft, wie er auf diese Gleichung
> kommt,
Na, wenn die Fläche rechteckig ist, die Seitenlängen x und y sowie die Fläche z hat, dann ergibt sich das doch ganz logisch, wenn man die Seitenlängen um $ [mm] \Delta [/mm] x $ bzw. $ [mm] \Delta [/mm] y $ verändert (oder sich sogar auf die Vergrößerung beschränkt, wie hier gegeben).
> aber nach Ausrechnen stimmt sie zumindest. Aber ab
> dem nächsten, erscheint es mir nicht mehr als richtig.
> Denn nun schreibt mein Dozent, dass sich der Zuwachs
> [mm]\Delta z[/mm] also als [mm]x\Delta y + y\Delta x + \Delta x\Delta y[/mm]
> darstellen lässt, will aber [mm]\Delta x\Delta y[/mm] aufgrund
> ihrer angeblichen minimalen Größe vernachlässigen und
> erhält somit in differentieller Schreibweise für die
> Änderung:
>
> dz = x * dy + y * dx
>
> Nun halte ich allerdings [mm]\Delta x\Delta y[/mm] nicht für zu
> gering, um es einfach wegzulassen. Bei wirklich sehr
> kleinen Differenzen mag das zwar zutreffen,
Um genau die geht es hier. Das Rechnen mit Differentialen setzt voraus, dass diese sozusagen unendlich klein sind und nicht durch endliche $ [mm] \Delta [/mm] x $ und $ [mm] \Delta [/mm] y $ ersetzt werden können. Eine geniale Idee aus dem 17. Jahrhundert, die zur Begründung der "Infinitesimalrechnung" führte.
> aber ganz
> allgemein ist dies meiner Meinung nach ein zu großer
> Fehler dann.
Ja, allgemein wäre der Fehler zu groß. Im infinitesimal kleinen Bereich darf man aber so verfahren.
> Wieso kann man das also einfach so machen?
> Weiterhin verstehe ich diese differentielle Schreibweise
> nicht. Was soll mir dieses d nun sagen? Steht das einfach
> nun für [mm]\Delta[/mm] ? Warum benutzt man es dann nicht einfach
> weiter?
Damit wird angegeben, dass das Differential zwar existent ist, aber keine benennbare (endliche) Größe mehr haben soll.
Du müsstest doch sowas wie Ableitungen, Kurvendiskussion und Integrale nicht nur an der Schule, sondern auch im Studium gehabt haben, oder?
> Ich glaube ich habe das früher in der Schule schon
> bei Integrationen gesehen und damals schon nicht
> verstanden, warum es dabei war. Irgendwann war es dann aber
> auch völlig verschwunden.
Wann denn? Das kann ich mir gerade nicht vorstellen.
> Ich hoffe mir kann das jemand erklären. Vielen Dank für
> eure Hilfe.
Hmm, das ist nicht so einfach und in paar Sätzen abzuhandeln. Schau Dir vielleicht nochmal an, wie der Grenzübergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten funktioniert. Auch ein paar Aufgaben dazu können nicht schaden. Dann Ableitungen. Dann einfache Integrale, denn um die geht es hier.
Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen schreibt man übrigens statt des d meistens ein anderes Zeichen für die sogenannten "partiellen" Ableitungen, nämlich [mm] \partial{x}, \partial{y} [/mm] usw.
Aber das lassen wir mal für später. 
lg
reverend
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Hmm... also mir wird der Sinn darin irgendwie gar nicht ersichtlich. Stupides ableiten und integrieren kann ich ja, aber wieso das das gewünschte Ergebnis immer erzielt hatte, war mir nie ersichtlich. Beim Durchlesen von Artikeln, tut es das auch heute nicht.
Wenn ich das richtig verstehe, dann gibt der Differenzquotient nur einen Durchschnitt wieder, da hier nicht mit kleinen Differenzen gerechnet wird? Um also eine genaue Momentaufnahme zu bekommen, rechnet man mit infinitesimal kleinen Zahlen?
Also sagt mir das d, ich soll minimale Veränderungen betrachten? Um dies tun zu können, muss ich also ableiten? Also bei f(x) = [mm] x^{2} [/mm] wäre also die Änderung 2 * x ? Kann ja irgendwie nicht sein, oder? Denn bei x = 3 ist weder 6 die Änderung ins positive, noch ins negative. Entweder habe ich da also wohl das Prinzip falsch verstanden oder ich gehe die Rechnung falsch an?
In dem Beispiel, dass dz = x * dy + y * dx , was würde ich denn da ableiten? Würde ich dann immer die Funktion für z nach den angegebenen Variablen ableiten? Sodass dann dy = x und dx = y wäre?
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Hallo Clawfinger,
Du scheinst Dich mit Rechenregeln durchgehangelt zu haben. Das ist wahrscheinlich mehrheitsfähig, rächt sich aber jetzt.
> Hmm... also mir wird der Sinn darin irgendwie gar nicht
> ersichtlich. Stupides ableiten und integrieren kann ich ja,
Genau das meine ich.
> aber wieso das das gewünschte Ergebnis immer erzielt
> hatte, war mir nie ersichtlich. Beim Durchlesen von
> Artikeln, tut es das auch heute nicht.
> Wenn ich das richtig verstehe, dann gibt der
> Differenzquotient nur einen Durchschnitt wieder, da hier
> nicht mit kleinen Differenzen gerechnet wird?
Nein, man setzt so an, um die Fragestellung zu verdeutlichen. Wie soll man die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt definieren, wenn nicht über die Grenzwertbildung des Differenzenquotienten?
> Um also eine
> genaue Momentaufnahme zu bekommen, rechnet man mit
> infinitesimal kleinen Zahlen?
So ist es.
> Also sagt mir das d, ich soll minimale Veränderungen
> betrachten? Um dies tun zu können, muss ich also ableiten?
Es kommt auch bei der Integration vor. Da gibt es doch auch Schritte an, die kleiner als mikroskopisch sind. Man führt die Integration ja meist ebenfalls über eine Grenzwertbildung ein, nämlich die der Ober- und Untersumme. Erinnerst Du Dich?
> Also bei f(x) = [mm]x^{2}[/mm] wäre also die Änderung 2 * x ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Jawohl.
> Kann
> ja irgendwie nicht sein, oder? Denn bei x = 3 ist weder 6
> die Änderung ins positive, noch ins negative.
Was meinst Du denn mit "Änderung"?
Nehmen wir mal x=3,01. Dann ist [mm] f(x)=3,01^2=9,0601. [/mm] Nun hat sich x um [mm] \Delta{x}=+0,01 [/mm] geändert, und f(x) um $ [mm] \Delta [/mm] f(x)=0,0601 $, also das 6,01-fache. Je kleiner die Änderung wird, umso näher rückt der letztere Faktor an die 6 heran. Genau 6 ist er allerdings nur bei x=3.
> Entweder
> habe ich da also wohl das Prinzip falsch verstanden oder
> ich gehe die Rechnung falsch an?
Du betrachtest nur die Steigung der Tangente an die Funktion, nicht ihre Lage. Aus der Tangenten(=Geraden-)gleichung y=mx+b interessiert bei dieser Fragestellung nur das m, das nicht überall gleich ist, sondern als m(x) dargestellt werden kann. Dabei ist m(x)=f'(x).
> In dem Beispiel, dass dz = x * dy + y * dx , was würde
> ich denn da ableiten? Würde ich dann immer die Funktion
> für z nach den angegebenen Variablen ableiten? Sodass dann
> dy = x und dx = y wäre?
Ja, richtig. Es war ja z=xy. Bei den partiellen Ableitungen werden alle Variablen, nach denen gerade nicht abgeleitet wird, wie Parameter behandelt, also einfach wie zwar zur Zeit unbekannte, aber feste Zahlen.
Übrigens nehme ich an, dass es Deinem Dozenten um die Einführung des ![[]](/images/popup.gif) totalen Differentials ging, ohne dabei den mathematischen Hintergrund zu sehr auszuführen.
Grüße
reverend
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