www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitFunktion stetig
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Stetigkeit" - Funktion stetig
Funktion stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktion stetig: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Fr 16.12.2011
Autor: anabiene

Aufgabe
ich soll mit der [mm] \delta-\varepsilon- [/mm] defintion zeigen, dass die potenzfunktion [mm] \IR \to \IR, x\mapsto x^n [/mm] stetig ist

mir ist aber bisher nichts gutes eingefallen, wie ich [mm] |x^n-x_o^n| [/mm] geschickt umformen kann um eine abschätzung machen zu können... es ist auch das erste mal, dass wir diese definition anwenden.
kann mir jemand helfen? :-)

        
Bezug
Funktion stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Fr 16.12.2011
Autor: fred97


> ich soll mit der [mm]\delta-\varepsilon-[/mm] defintion zeigen, dass
> die potenzfunktion [mm]\IR \to \IR, x\mapsto x^n[/mm] stetig ist
>  mir ist aber bisher nichts gutes eingefallen, wie ich
> [mm]|x^n-x_o^n|[/mm] geschickt umformen kann um eine abschätzung
> machen zu können... es ist auch das erste mal, dass wir
> diese definition anwenden.
>  kann mir jemand helfen? :-)

Den Fall n=1 bekommst Du sicher selber hin.

Sei also n [mm] \ge [/mm] 2.

Es gilt:

  [mm] x^n-x_0^n=(x-x_0)\summe_{i=0}^{n-1}x^ix_0^{n-1-i}, [/mm]

also

          (*) [mm] $|x^n-x_0^n| \le |x-x_0|\summe_{i=0}^{n-1}|x|^i|x_0|^{n-1-i}, [/mm]

Da für die Stetigkeit in [mm] x_0 [/mm] nur solche x zu betrachten sind,die in der "Nähe" von [mm] x_0 [/mm] liegen, kannst Du [mm] |x-x_0| \le [/mm] 1 annehmen.

Dann ist

            [mm] $|x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| \le 1+|x_0|$ [/mm]

Somit gibt es, wegen (*),  ein c>0 mit:

             [mm] $|x^n-x_0^n| \le c|x-x_0|$ [/mm]    für  [mm] |x-x_0| \le [/mm] 1

So nun leg mal los mit  [mm] $\varepsilon- \delta [/mm] $

FRED


Bezug
                
Bezug
Funktion stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:35 Fr 16.12.2011
Autor: anabiene

dies hier: $ [mm] x^n-x_0^n=(x-x_0)\summe_{i=0}^{n-1}x^ix_0^{n-1-i}, [/mm] $ hatte ich auch, nur kam ich da nicht weiter... *grummel* aber ich denke mit deinen weiteren tipps schaffe ich es. ich melde mich auf jeden fall noch mal, ob ichs geschafft hab oder noch ein tipp brauch :-)

Bezug
                
Bezug
Funktion stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Fr 16.12.2011
Autor: anabiene

eine kurze frage. du hast geschieben [mm] |x^n-x_0^n| \le |x-x_0|\summe_{i=0}^{n-1}|x|^i|x_0|^{n-1-i} [/mm]

müsste es dann nicht heißen: "Somit gibt es ein c [mm] \ge0 [/mm] also größer gleich mit:

             $ [mm] |x^n-x_0^n| \le c|x-x_0| [/mm] $ "


Bezug
                        
Bezug
Funktion stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Fr 16.12.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> eine kurze frage. du hast geschieben [mm]|x^n-x_0^n| \le |x-x_0|\summe_{i=0}^{n-1}|x|^i|x_0|^{n-1-i}[/mm]
>  
> müsste es dann nicht heißen: "Somit gibt es ein c [mm]\ge0[/mm]
> also größer gleich mit:
>  
> [mm]|x^n-x_0^n| \le c|x-x_0|[/mm] "


Falls schon c=0 die Ungleichung erfüllt, so erfüllen auch
alle positiven c die Ungleichung.
Und in den allermeisten (und wichtigen) Fällen ist der
Fall c=0 ohnehin illusorisch.

LG   Al-Chw.    


Bezug
                                
Bezug
Funktion stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Fr 16.12.2011
Autor: anabiene

danke

ich glaube ich habe es noch nicht ganz verstanden. ich habs ein bissel anders probiert:

[mm] |f(x)-f(x_o)|=|x^n-x_o^n|=\vmat{ (x-x_o)\summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} } [/mm] = [mm] |x-x_o|\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} } [/mm] <

[mm] \delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} } [/mm] < [mm] \delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^kx_o^{n-1-k} } [/mm] < [mm] \delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^k(x_o+1)^{n-1-k} } [/mm]

= [mm] \delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^{k+n-1-k} } [/mm] = [mm] \delta\cdot\vmat{ (x_o+1)^{n-1} } [/mm] < [mm] \delta\cdot |x_o+1|^{n-1} \le \varepsilon \gdw \delta \le \bruch {\varepsilon}{|x_o+1|^{n-1}} [/mm]


geht das so auch?

Bezug
                                        
Bezug
Funktion stetig: negative x0 berücksichtigen !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Fr 16.12.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> danke
>  
> ich glaube ich habe es noch nicht ganz verstanden. ich habs
> ein bissel anders probiert:
>
> [mm]|f(x)-f(x_o)|=|x^n-x_o^n|=\vmat{ (x-x_o)\summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} }[/mm]
> = [mm]|x-x_o|\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} }[/mm] <
>
> [mm]\delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} }[/mm] <
> [mm]\delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^kx_o^{n-1-k} }[/mm]
> < [mm]\delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^k(x_o+1)^{n-1-k} }[/mm]
>
> = [mm]\delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^{k+n-1-k} }[/mm] =
> [mm]\delta\cdot\vmat{ (x_o+1)^{n-1} }[/mm] < [mm]\delta\cdot |x_o+1|^{n-1} \le \varepsilon \gdw \delta \le \bruch {\varepsilon}{|x_o+1|^{n-1}}[/mm]
>  
>
> geht das so auch?


Das ist jedenfalls auch eine gute Idee. Zu prüfen wäre noch,
ob die Abschätzung mittels [mm] x_0+1 [/mm] auch für negative [mm] x_0 [/mm]
wirklich in Ordnung ist.
Mit kleinen Modifikationen (bzw. einer Fallunterscheidung)
sollte das Ganze aber machbar sein.
Man sollte wohl [mm] |x_0|+1 [/mm] betrachten anstatt [mm] x_0+1 [/mm] !

LG   Al-Chw.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]