Funktion stetig ergänzbar? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Fr 16.05.2008 | | Autor: | bmwtuner |
| Aufgabe | Läßt sich die durch
[mm] f:\IR\backslash\{0\}\mapsto\IR [/mm] , [mm] f(x)=10(lnx^2)^2+7 [/mm] / [mm] 2(lnx^2)^2 [/mm] + [mm] 3lnx^2
[/mm]
gegebene Funktion an der Stelle 0 stetig ergänzen? Wenn ja, durch welchen Funktionswert? |
Guten Morgen,
hab mit einer Aufgabe Probleme. Bin mir einfach nicht sicher wie ich an die Aufgabe ran gehen soll, da wir solche Aufgabentypen in den Vorlesungen nicht besprochen haben.
Ich hab jetzt einfach mal versucht den Grenzwert auszurechnen, also hab x ausgeklammert und dann gekürzt.
= [mm] (10x^2*ln)^2 [/mm] + 7 / [mm] (2x^2*ln)^2 [/mm] + 3x^2ln
= 7 / [mm] 5+(3x^2*ln) [/mm] wenn dann x-> 0 strebt würde ich auf folgendes kommen
= 7/ 5ln
stimmt das oder hab ich alles falsch gemacht  ! Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!!
Danke schonmal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zunächst mal generell: wenn du eine stetige Funktion f hast, die an der Stelle a eine Definitionslücke hat, und Du wissen willst, ob man sie stetig ergänzen kann, ist folgendes zu tun:
Du schaust den Grenzwert der Funktion f gegen a an..
Existiert er, etwa =b, so kannst Du die Funktion f wie folgt zu einer stetigen Funktion g ergänzen
[mm] g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=a \\ b, & \mbox{für } x=a \end{cases}.
[/mm]
Diese Funktion g ist also fast überall so wie f, nur an der Stelle a ist ein Funktionswert b so eingeflickt, daß g stetig ist.
Soviel vorweg.
Sicher würde in der Vorlesung "stetige Ergänzung" definiert, anhand dieser Definition muß man sich dann durch die Aufgaben hangeln.
Nun konkret zu Deiner Aufgabe:
Nullstens versuchst Du, den Grenzwert der Funktion für [mm] x\to [/mm] 0 zu berechnen, und dieser Plan ist gut und sinnvoll.
Erstens kann ich die Funktion nicht richtig lesen.
Welche Funktion ist gemeint?
So, wie Du es schreibst, also
[mm] f(x):=10(lnx^2)^2 [/mm] + [mm] \bruch{7}{2(lnx^2)^2}+3lnx^2
[/mm]
oder so
[mm] f(x):=\bruch{10(lnx^2)^2+7}{ 2(lnx^2)^2 + 3lnx^2}
[/mm]
oder noch was anderes?
Das Zweite, was ich dann sehe bzw. erahne, ist so fürchterlich, daß ich fast einen Herzstillstand bekomme:
Der Logarithmus ist eine Funktion, und lny=ln(y) bedeutet, daß diese Funktion auf den Wert y angewendet wird.
ln35 bedeutet "Logarithmus von 35". Es bedeutet nicht etwa "ln*35", denn diese Variante hätte keine Bedeutung... ln ist ja eine Funktion und keine Zahl.
Also: das Herausziehen von [mm] x^2 [/mm] aus dem Logarithmus ist Unfug allerhöchsten Grades.
Noch eins, was Dir vielleicht beim nächsten Bearbeitungsversuch nützlich ist:
[mm] 10(lnx^2)^2 [/mm] bedeutet [mm] 10\* ln(x^2) \* ln(x^2).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 16.05.2008 | | Autor: | bmwtuner |
Hi,
also danke schonmal für die Hilfe, sorry für den beinahen Herzinfakt .
Ja ich meine die 2te Formel von dir!
Also was ich jetzt mach ist die Formel auseinander nehmen und dann für x die "0" einsetzen und schauen was für ein Grenzwert rauskommt. Und das für den linken und rechten oder? und wie komm ich dann auf den Funktionswert ? Funktionswert = Grenzwert?
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> Ja ich meine die 2te Formel von dir!
Hallo,
Du interessierst Dich also für den Grenzwert von $ [mm] f(x):=\bruch{10(lnx^2)^2+7}{ 2(lnx^2)^2 + 3lnx^2} [/mm] $ an der Stelle 0.
> Also was ich jetzt mach ist die Formel auseinander nehmen
Was sich nur dahinter verbergen mag...
Vielleicht dies:
[mm] f(x):=\bruch{10(lnx^2)^2+7}{ 2(lnx^2)^2 + 3lnx^2} =\bruch{10(lnx^2)^2}{ 2(lnx^2)^2 + 3lnx^2} [/mm] + [mm] \bruch{7}{ 2(lnx^2)^2 + 3lnx^2}.
[/mm]
> und dann für x die "0" einsetzen
Sagen wir mal lieber: für beide Teile den Grenzwert gegen 0 betrachten.
Denn das mit dem "Null einsetzen" klappt nicht, der ln ist ja an der Stelle 0 nicht definiert.
(Du weißt, wie ln verläuft? Wenn nicht, solltest Du's Dir anschauen.)
> Und das für den linken und rechten
> oder?
Wenn der Grenzwert existiert, ist er ja rechts und links gleich. Du brauchst hier nicht rechts und links getrennt zu gucken. Das muß man aber meist, wenn man abschnittweise definierte Funktionen betrachtet.
und wie komm ich dann auf den Funktionswert ?
> Funktionswert = Grenzwert?
Ja.
Noch ein paar Hinweise, die vielleicht nützlich sind: im Nenner kann man [mm] ln(x^2) [/mm] ausklammern.
Für den ersten Summanden könnte l'Hospital nützlich sein, falls Ihr den hattet.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie wäre es mit der Substitution [mm] u=ln(x^2) [/mm] ?
Wenn x gegen 0 geht geht u gegen ?????????????
(ich habe gefunden: setzt man f(0) = 5, so ist f in 0 stetig (ohne Gewähr)
FRED
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