Funktion von Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Do 24.11.2011 | | Autor: | Leon81 |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion
f(y)=λe^(-λy)
Es gelte außerdem
Y=r(X) mit [mm] r(X)=X^2
[/mm]
Wie sieht dann die Verteilung von Y aus? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe. Muss nächste Woche meinen Bachelorvortrag halten Bin neu hier und hoffe hier gibt es einige sehr gute Mathematiker.
Es gilt doch:
[mm] P(Y\le y)=P(X^2\le y)=P(X\le\wurzel{y})
[/mm]
Mit welcher Begründung komme ich dann auf den folgenden Term?
[mm] P(X\le \wurzel{y})= \integral_{-\infty}^{\wurzel{y}}{g(v) dv}= \integral_{0}^{\wurzel{y}}{\lambda e^{-\lambda v}}= -e^{-\lambda \wurzel{y}}+1
[/mm]
g ist hier die Verteilungsfunktion von Y.
Meine Frage ist, wieso man die Integralgrenze von [mm] -\infty [/mm] auf 0 setzen kann?
Außerdem ist mir nicht klar, warum man g wie f behandelt?
Kann womöglich den ganzen Weg mit f rechnen und am Ende dann substituieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Do 24.11.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe. Muss nächste Woche
> meinen Bachelorvortrag halten Bin neu hier und hoffe hier
> gibt es einige sehr gute Mathematiker.
>
> Es gilt doch:
> [mm]P(Y\le y)=P(X^2\le y)=P(X\le\wurzel{y})[/mm]
Achtung! Eigentlich ist es so:
[mm]P(Y\le y)=P(X^2\le y)=P(-\wurzel{y}\le X\le\wurzel{y})[/mm]
bezeichnen wir mit
[mm]F(y)=\int_{-\infty}^y f(y)dy[/mm] die Verteilungsfunktion von [mm]X[/mm]
und mit
[mm]f(y)=\lambda e^{(-\lambda y)} [/mm] die Dichte von [mm]X[/mm]
dann
[mm]P( - \wurzel{y} \le X \le \wurzel{y}) = \int_{- \wurzel{y}}^ {\wurzel{y}}f(y)dy
[/mm]
da wir hier über eine Exponentialverteilung reden, für welche sowohl die Dichte und (deshalb) auch die Verteilungsfunktion 0 sind für [mm]x < 0 [/mm] ist:
[mm]\int_{- \wurzel{y}}^ {\wurzel{y}}f(y)dy=
\int_{0}^ {\wurzel{y}}f(y)dy
[/mm]
> Mit welcher
> Begründung komme ich dann auf den folgenden Term?
> [mm]P(X\le \wurzel{y})= \integral_{-\infty}^{\wurzel{y}}{g(v) dv}= \integral_{0}^{\wurzel{y}}{\lambda e^{-\lambda v}}= -e^{-\lambda \wurzel{y}}+1[/mm]
>
> g ist hier die Verteilungsfunktion
Achtung siehe oben!
> von Y.
> Meine Frage ist, wieso man die Integralgrenze von [mm]-\infty[/mm]
> auf 0 setzen kann?
> Außerdem ist mir nicht klar, warum man g wie f
> behandelt?
>
> Kann womöglich den ganzen Weg mit f rechnen und am Ende
> dann substituieren?
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Leon81 |
Hallo.
Ich danke für die schnelle Antwort. Habe auch das Problem verstanden wieso man g wie f behandelt.
Allerdings habe ich noch eine Frage zu deiner Ausführung (s.u.).
Aber sonst 1A Erklärung.
> Hallo,
>
> > Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe. Muss nächste Woche
> > meinen Bachelorvortrag halten Bin neu hier und hoffe hier
> > gibt es einige sehr gute Mathematiker.
> >
> > Es gilt doch:
> > [mm]P(Y\le y)=P(X^2\le y)=P(X\le\wurzel{y})[/mm]
>
> Achtung! Eigentlich ist es so:
>
> [mm]P(Y\le y)=P(X^2\le y)=P(-\wurzel{y}\le X\le\wurzel{y})[/mm]
>
> bezeichnen wir mit
>
> [mm]F(y)=\int_{-\infty}^y f(y)dy[/mm] die Verteilungsfunktion von [mm]X[/mm]
Hat man nicht hier das Problem der Doppelbelegung der Variable y? Einmal ist das die obere Grenze des Integrals, zum anderen ist das die Laufvariable von f.
>
> und mit
>
> [mm]f(y)=\lambda e^{(-\lambda y)}[/mm] die Dichte von [mm]X[/mm]
>
> dann
>
> [mm]P( - \wurzel{y} \le X \le \wurzel{y}) = \int_{- \wurzel{y}}^ {\wurzel{y}}f(y)dy
[/mm]
>
> da wir hier über eine Exponentialverteilung reden, für
> welche sowohl die Dichte und (deshalb) auch die
> Verteilungsfunktion 0 sind für [mm]x < 0[/mm] ist:
>
> [mm]\int_{- \wurzel{y}}^ {\wurzel{y}}f(y)dy=
\int_{0}^ {\wurzel{y}}f(y)dy
[/mm]
>
>
>
> > Mit welcher
> > Begründung komme ich dann auf den folgenden Term?
> > [mm]P(X\le \wurzel{y})= \integral_{-\infty}^{\wurzel{y}}{g(v) dv}= \integral_{0}^{\wurzel{y}}{\lambda e^{-\lambda v}}= -e^{-\lambda \wurzel{y}}+1[/mm]
>
> >
> > g ist hier die Verteilungsfunktion
>
> Achtung siehe oben!
>
> > von Y.
> > Meine Frage ist, wieso man die Integralgrenze von
> [mm]-\infty[/mm]
> > auf 0 setzen kann?
> > Außerdem ist mir nicht klar, warum man g wie f
> > behandelt?
> >
> > Kann womöglich den ganzen Weg mit f rechnen und am Ende
> > dann substituieren?
> >
>
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Leon81,
mit Deinem Kommentar hast Du recht. Es wird zwar, gerade bei den Ingenieuren, dies so gerne hingeschrieben, aber sauberer ist es, wenn man eine andere Integrationsvariable wählt. Dies ändert ja am Ergebnis nichts.
Also, etwas wie
[mm] F(y) = \int_{-\infty}^y f(u)\, du [/mm]
Dann ist es auch formal korrekt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Sa 26.11.2011 | | Autor: | vivo |
ups ...
aber natürlich!
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