Funktion zweier Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] F(x,y)=x^3+y^3-6xy=0 [/mm] Skizziere den Graphen von F und bestimme jene Punkte wo y als Funktion von x darstellbar ist. Berechne y' und y'' |
Ich habe den Graphen mit Mathematica geplottet, und was dabei rauskommt ist eine Schleife durch den Nullpunkt. Gibt es für den zweiten Teil der Aufgabe irgendein allgemein anwendbares Rezept um die Punkte zu bestimmen bei denen y als Funktion von x oder umgekehrt darstellbar ist? Ich habe hier nämlich noch eine andere Funktion
[mm] F(x,y)=-xy^2+3*log(x)-4=0 [/mm] bei der ich untersuchen soll ob sich y z.B in (1,2) als Fkt von x darstellen lässt.
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Hallo Omikron123,
> Sei [mm]F(x,y)=x^3+y^3-6xy=0[/mm] Skizziere den Graphen von F und
> bestimme jene Punkte wo y als Funktion von x darstellbar
> ist. Berechne y' und y''
>
> Ich habe den Graphen mit Mathematica geplottet, und was
> dabei rauskommt ist eine Schleife durch den Nullpunkt. Gibt
> es für den zweiten Teil der Aufgabe irgendein allgemein
> anwendbares Rezept um die Punkte zu bestimmen bei denen y
> als Funktion von x oder umgekehrt darstellbar ist? Ich habe
> hier nämlich noch eine andere Funktion
>
> [mm]F(x,y)=-xy^2+3*log(x)-4=0[/mm] bei der ich untersuchen soll ob
> sich y z.B in (1,2) als Fkt von x darstellen lässt
Setze [mm]y=y \left(x\right)[/mm], differenziere dann die entstehende Gleichung nach x.
Für die Darstellbarkeit von y als Funktion x, muss die erste Ableitung
nach x in dem Punkt für den
[mm]F\left(x,y\right)=0[/mm]
gilt, nicht verschwinden.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mo 01.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Der Satz über implizit def. Funktionen besagt:
Ist [mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] und ist [mm] F_y(x_0,y_0) \ne [/mm] 0, so ex. eine Umgebung von U von [mm] x_0 [/mm] und eine Funktion y:U [mm] \to \IR [/mm] mit:
F(x,y(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U und [mm] y(x_0)=y_0.
[/mm]
FRED
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Hossa :)
Du hast eine Funktion $F(x,y)=0$ gegeben, die an allen Stellen $x,y$ auf ihrem Definitionsbereich gleich 0 ist. Also muss auch die Ableitung nach x überall gleich 0 sein. Diese Ableitung lässt sich mit der Kettenregel direkt hinschreiben:
[mm] $0=\frac{dF}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\,y^\prime(x)$
[/mm]
Das kann man nach [mm] $y^\prime(x)$ [/mm] umstellen:
[mm] $y^\prime(x)=-\frac{\partial F}{\partial x}\,/\,\frac{\partial F}{\partial y}$
[/mm]
Offensichtlich ist die Ableitung [mm] $y^\prime(x)$ [/mm] nur definiert, wenn die partielle Ableitung von F nach y ungleich 0 ist. Und das ist auch genau das Kriterium, das aus dem Satz über implizite Funktionen folgt und das erfüllt sein muss, damit man y als Funktion von x ausdrücken kann:
[mm] $\frac{\partial F}{\partial y}\not=0\quad\Longrightarrow\quad$ [/mm] y ist als Funktion von x darstellbar.
Zur Berechnung von [mm] $y^{\prime\prime}(x)$ [/mm] kannst du einfach [mm] $y^\prime(x)$ [/mm] nochmal ableiten...
Viele Grüße
Hasenfuss
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Hi Leute,
Ich hab jetzt mal $ [mm] 0=\frac{dF}{dx}$ [/mm] berechnet:
Also $ [mm] 0=\frac{dF}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\,y^\prime(x) [/mm] = [mm] (3x^2-6y)+(3y^2-6x)y'(x) [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] y' = - [mm] \bruch{3x^2-6y}{3y^2-6x}=0
[/mm]
Also [mm] y^2=2x
[/mm]
Bedeutet das nun, dass die Funktion in allen Punkten (x,y) nach x bzw y aufgelöst werden kann außer an denen, für die gilt: [mm] y^2 [/mm] = 2x?
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Hallo MatheStudi7,
> Hi Leute,
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> Ich hab jetzt mal [mm]0=\frac{dF}{dx}[/mm] berechnet:
> Also [mm]0=\frac{dF}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\,y^\prime(x) = (3x^2-6y)+(3y^2-6x)y'(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y' = - [mm]\bruch{3x^2-6y}{3y^2-6x}=0[/mm]
> Also [mm]y^2=2x[/mm]
>
> Bedeutet das nun, dass die Funktion in allen Punkten (x,y)
> nach x bzw y aufgelöst werden kann außer an denen, für
> die gilt: [mm]y^2[/mm] = 2x?
Nein.
Die Funktion kann in Punkten (x,y) nach y aufgelöst werden,
für die [mm]y^{2} \not= 2x[/mm].
Gruss
MathePower
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