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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:08 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Peter_Pan |
Hallo Zusammen.
geg.: multivariate Funktion f(x,y) = [mm] x^2+3*x*y
[/mm]
betrachteter Punkt x =(3,2)
ges.: Jacobimatrix von f
Frage: Welche Schritte sind nötig um die Jacobi-Matrix von f in x zu berechnen?
Danke Euch im Voraus.
Gruß Peter.
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Hallo!
> geg.: multivariate Funktion f(x,y) = [mm]x^2+3*x*y[/mm]
> betrachteter Punkt x =(3,2)
>
> ges.: Jacobimatrix von f
>
>
> Frage: Welche Schritte sind nötig um die Jacobi-Matrix von
> f in x zu berechnen?
Wo ist denn da das Problem? Weißt du, was die ![[]](/images/popup.gif) Jacobimatrix ist?
Berechne einfach alle partiellen Ableitungen, schreibe sie in der richtigen "Reihenfolge" in die Matrix, und setze dann den Punkt x ein.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Huhu Bastiane, Zusammen.
Vielen Dank für Deine Bemühung, Bastiane.
Ist ein Verständnisproblem, dem meine Frage zugrunde liegt.
Worin besteht denn eigtl. der Zusammenhang/Unterschied zwischen Jacobimatrix und Gradient von f?
für [mm] \nabla [/mm] f (3,2) = [mm] \vektor{12 \\ 9}
[/mm]
Ist mein Ergebnis für die Jacobimatrix (12,9) korrekt (=Transponierter Vektor des Gradient)?
Servus, Peter.
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Hallo Peter,
na der Gradient ist eben ein Zeilenvektor und die Jacobimatrix eine Matrix. Für Funktionen [mm] f:\IR^{n}\to\IR^{m} [/mm] definiert man das totale Differential als Spaltenvektor des Zeilenvektorgradienten, eben eine Matrix. Die Einträge sind alle ersten partiellen Ableitungen der Funktion. Ich bekomme als Gradienten
[mm] grad(f)=\vektor{2x+3y \\ 3x}
[/mm]
und dem Punkt eingesetzt
[mm] grad(f(3,2))=\vektor{12 \\ 9} [/mm] .
Deine Lösung stimmt also.
Viele Grüße
Daniel
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Hallo Daniel, Zusammen.
Danke Dir nochmals Daniel.
(Teil A)
Wenn ich das richtig verstehe, dann ist das von
mir aufgeführte
Bsp.1
[geg.: multivariate Funktion f(x,y) = [mm] x^2+3*x*y, [/mm]
betrachteter Punkt x =(3,2) ]
ein Bsp. für eine Funktion mit der Eigenschaft [mm] f:\IR^2\mapsto\IR^1.
[/mm]
Dieses Bsp. erzeugt eine 1x2-Jacobimatrix.
Im Fall von 1xn-Jacobimatrizen gilt stets:
Jakobimatrix von f = (Gradient von [mm] f)^t.
[/mm]
(Teil B)
Für alle Fkten. [mm] f:\IR^n\mapsto\IR^m [/mm] mit [mm] n\not=1 [/mm] erhält man entsprechende mxn-Jacobimatrizen.
Bsp.2
geg.: [mm] f(x,y)=(x^2-y^2 [/mm] , 2xy)
ges.:Jacobimatrix
mein Ergebnis: J= [mm] \pmat{ 2x & 2y \\ -2y & 2x }
[/mm]
Meine Fragen:
1. Hat sich in Teil A oder B ein Verständnisfehler eingeschlichen?
2. Was hat nun die Jacobimatrix mit dem totalen Differential zu tun?
[Verstehe folgendes Zitat noch nicht:"Für Funktionen [mm] f:\IR^{n}\to\IR^{m} [/mm] definiert man das totale Differential als Spaltenvektor des Zeilenvektorgradienten, eben eine Matrix."]
Vielen Dank im Voraus.
Gruß Pedro.
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Hallo Pedro,
> Hallo Daniel, Zusammen.
>
> Danke Dir nochmals Daniel.
>
> (Teil A)
>
> Wenn ich das richtig verstehe, dann ist das von
> mir aufgeführte
>
> Bsp.1
>
> [geg.: multivariate Funktion f(x,y) = [mm]x^2+3*x*y,[/mm]
> betrachteter Punkt x =(3,2) ]
>
> ein Bsp. für eine Funktion mit der Eigenschaft
> [mm]f:\IR^2\mapsto\IR^1.[/mm]
> Dieses Bsp. erzeugt eine 1x2-Jacobimatrix.
Ja.
>
> Im Fall von 1xn-Jacobimatrizen gilt stets:
> Jakobimatrix von f = (Gradient von [mm]f)^t.[/mm]
Im Prinzip, ja.
>
> (Teil B)
>
> Für alle Fkten. [mm]f:\IR^n\mapsto\IR^m[/mm] mit [mm]n\not=1[/mm] erhält man
> entsprechende mxn-Jacobimatrizen.
Ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Bsp.2
> geg.: [mm]f(x,y)=(x^2-y^2[/mm] , 2xy)
>
> ges.:Jacobimatrix
>
> mein Ergebnis: J= [mm]\pmat{ 2x & 2y \\ -2y & 2x }[/mm]
Stimmt!
>
> Meine Fragen:
>
> 1. Hat sich in Teil A oder B ein Verständnisfehler
> eingeschlichen?
nö...
>
> 2. Was hat nun die Jacobimatrix mit dem totalen
> Differential zu tun?
>
> [Verstehe folgendes Zitat noch nicht:"Für Funktionen
> [mm]f:\IR^{n}\to\IR^{m}[/mm] definiert man das totale Differential
> als Spaltenvektor des Zeilenvektorgradienten, eben eine
> Matrix."]
Na ja, im Prinzip ist das Differential ja eine lineare Abbildung L, die man aus dieser Gleichung gewinnt:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+h)-f(a)-Lh}{\parallel h\parallel}=0. [/mm]
f heißt dann differenzierbar im Punkt a. Man kann dieses Differential nun auch durch Richtungsableitungen darstellen oder eben durch Ableitungen in Korrdinatenrichtungen, den partiellen Ableitungen. Diese sind die Einträge des Gradienten. Der Satz bedeutet, dass die Ableitung eine 1-zeilige Matrix ist, deren Einträge die Gradienten sind, etwa der Form:
[mm] f'(a)=(\partial_{1}f(a),...,\partial_{n}f(a)). [/mm] So entsteht je nach Gestalt der Funktion ein Zeilenvektor, ein Spaltenvektor oder eine Matrix.
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Gruß Pedro.
Grüße Daniel
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