Funktionaldeterminante < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Für [mm] F_i(x_1,x_2,x_3):= \bruch{x_i}{x_1²+x_2²+x_3²} [/mm] i=1,2,3 nerechne man [mm] \bruch{d(F_1,F_2,F_3}{d(x_1,x_2,x_3)}. [/mm] |
Hi!
hab ne frage zu der aufgabe, da ich etwas verwirrt bin mit den [mm] x_i [/mm] 's.
wir haben die Fktdet nämlich so bezeichnet:
det ( [mm] \bruch{dF_i}{dy_i}) [/mm] und leider kommen in den Fkt [mm] F_i [/mm] ja aber gar keine [mm] y_i [/mm] vor? sind das dann einfach die [mm] x_i [/mm] ?
also wäre es richtig diese Matrix zu berechnen:
[mm] \pmat{ \bruch{dF_1}{dx_1} & \bruch{dF_1}{dx_2} & \bruch{dF_1}{dx_3} \\ \bruch{dF_2}{dx_1} & \bruch{dF_2}{dx_2} & \bruch{dF_2}{dx_3} \\ \bruch{dF_3}{dx_1} & \bruch{dF_3}{dx_2} & \bruch{dF_3}{dx_3} }
[/mm]
und davon dann noch die determinante??
gibt es dabei einen trick, dass das alles nicht so kompliziert wird (wenn das so überhaupt stimmt...)?
gruß riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Fr 16.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
> Für [mm]F_i(x_1,x_2,x_3):= \bruch{x_i}{x_1²+x_2²+x_3²}[/mm] i=1,2,3
> nerechne man [mm]\bruch{d(F_1,F_2,F_3}{d(x_1,x_2,x_3)}.[/mm]
> Hi!
> hab ne frage zu der aufgabe, da ich etwas verwirrt bin mit
> den [mm]x_i[/mm] 's.
> wir haben die Fktdet nämlich so bezeichnet:
> det ( [mm]\bruch{dF_i}{dy_i})[/mm] und leider kommen in den Fkt [mm]F_i[/mm]
> ja aber gar keine [mm]y_i[/mm] vor? sind das dann einfach die [mm]x_i[/mm] ?
Natürlich, die Namen von Variablen sind völlig frei wählbar, aller dings sind die üblichen x,y,z Aber wenn da [mm] Riley_{i} [/mm] stünde wärs noch immer dasselbe!
Die Schreibweise [mm]\bruch{d(F_1,F_2,F_3}{d(x_1,x_2,x_3)}.[/mm] für die Determinante kenn ich allerdings nicht, da musst du im Skript nachsehen, was ihr so bezeichnet habt. Und wenns die Det. ist weiss ich keinen Trick.
> also wäre es richtig diese Matrix zu berechnen:
> [mm]\pmat{ \bruch{dF_1}{dx_1} & \bruch{dF_1}{dx_2} & \bruch{dF_1}{dx_3} \\ \bruch{dF_2}{dx_1} & \bruch{dF_2}{dx_2} & \bruch{dF_2}{dx_3} \\ \bruch{dF_3}{dx_1} & \bruch{dF_3}{dx_2} & \bruch{dF_3}{dx_3} }[/mm]
>
> und davon dann noch die determinante??
wie gesagt, nachsehen!
Gruss leduart
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Ich kenne es so: Das gerade [mm]\mathrm{d}[/mm] für die Funktionalmatrix:
[mm]\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}(F_1,F_2,F_3)}{\mathrm{d}(x_1,x_2,x_3)}[/mm]
und das runde [mm]\partial[/mm] für die Funktionaldeterminante:
[mm]\frac{\partial{F}}{\partial{x}} = \frac{\partial{(F_1,F_2,F_3)}}{\partial{(x_1,x_2,x_3)}} = \det \, \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi leduart!
dankeschön für deine erklärung! ;)
jaja, wir ham im skript auch das mit dem runden d aufgeschrieben, wusste nur nicht wie ma das hier eingibt...
"Man nennt [mm] det\bruch{\partial F_i}{\partial y_i} [/mm] die Funktionaldeterminante der Funktionen [mm] F_1,..., F_n [/mm] nach den Variablen [mm] y_1,...,y_n [/mm] und verwendet daher auf die Bezeichnung [mm] \bruch{\partial(F_1,...,F_n)}{\partial(y_1,...,y_n)}." [/mm] nur wie die matrix konkret aussieht, haben wir nicht aufgeschrieben, aber dann stimmt das so mit den partiellen ableitungen und davon die det?
ich versteh nicht ganz, was für einen sinn diese aufgabe macht, wenn das alles so stimmt???
die matrix würde dann so aussehen:
[mm] \pmat{ \bruch{-x_1²+x_2²+x_3³}{x_1²+x_2²+x_3²} & \bruch{-2x_2}{x_1²+x_2²+x_3²} & \bruch{-2x_3}{x_1²+x_2²+x_3²} \\ \bruch{-2x_1}{x_1²+x_2²+x_3²} & \bruch{x_1²-x_2²+x_3³}{x_1²+x_2²+x_3²} & \bruch{-2x_3}{x_1²+x_2²+x_3²}\\ \bruch{-2x_1}{x_1²+x_2²+x_3²} & \bruch{-2x_2}{x_1²+x_2²+x_3²}& \bruch{x_1²+x_2²-x_3³}{x_1²+x_2²+x_3²} }
[/mm]
weil davon die det zu berechnen ist doch grauselig??
viele grüße
riley
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Das mit dem Exponenten 3 scheint ja nur ein Schreibfehler zu sein, der sich durch das Kopieren fortgepflanzt hat. Schlimmer ist, daß das Quadrat im Nenner fehlt. Und alle Zähler außerhalb der Hauptdiagonalen sind falsch.
Und gruselig? Da habe ich schon Schlimmeres gesehen. Beachte die Regel:
[mm]\det{(\lambda A)} = \lambda^n \det{A}[/mm] für eine [mm]n[/mm]-reihige Matrix [mm]A[/mm] und einen Skalar [mm]\lambda[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leopold_gast!!
Vielen Dank für deine Korrektur!!
ja das mit dem quadrat war eingabefehler. ich hab die andren ableitungen nochmal nachgerechnet, und komm wieder auf (mit [mm] z=x_1²+x_2²+x_2²)
[/mm]
[mm] \bruch{dF_1}{dx_2} [/mm] = [mm] \bruch{-2x_2}{z²}
[/mm]
[mm] \bruch{dF_1}{dx_3}= \bruch{-2x_3}{z²}
[/mm]
[mm] \bruch{dF_2}{dx_1}=\bruch{-2x_1}{z²}
[/mm]
[mm] \bruch{dF_2}{dx_3} =\bruch{-2x_3}{z²}
[/mm]
ist das wirklich falsch?? oder hab ich nur die matrixeinträge falsch angeordnet???
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
> Hi Leopold_gast!!
> Vielen Dank für deine Korrektur!!
> ja das mit dem quadrat war eingabefehler. ich hab die
> andren ableitungen nochmal nachgerechnet, und komm wieder
> auf (mit [mm]z=x_1²+x_2²+x_2²)[/mm]
> [mm]\bruch{dF_1}{dx_2}[/mm] = [mm]\bruch{-2x_2}{z²}[/mm]
> [mm]\bruch{dF_1}{dx_3}= \bruch{-2x_3}{z²}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dF_2}{dx_1}=\bruch{-2x_1}{z²}[/mm]
> [mm]\bruch{dF_2}{dx_3} =\bruch{-2x_3}{z²}[/mm]
wirklich falsch. Bei der Quotienten regel steht doch für (f/g)' im Zähler f'g-fg', bei dir steht da nur f'g-g'
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 18.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
danke dir, da fehlt tatsächlich mal f.
ist es so richtig?
[mm] \bruch{1}{z²} \pmat{ -x_1²+x_2²+x_3² & -2x_1x_2 & -2x_1x_3 \\ -2x_1x_2 & x_1²-x_2²+x_3² & -2x_2x_3 \\ -2x_1x_3 & - 2x_2x_3 & x_1²+x_2²-x_3²}
[/mm]
und da muss ich dann davon ganz normal die det oder kann ich noch was vereinfachen?ß
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Wieder ein Fehler, lies dir nochmal LeopoldG's post durch! da steht doch was von [mm] \lambda^{n}/
[/mm]
Grus leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 18.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi leduart!
ops, dann muss es wohl so sein?
[mm] (\bruch{1}{z²})^3 \pmat{ -x_1²+x_2²+x_3² & -2x_1x_2 & -2x_1x_3 \\ -2x_1x_2 & x_1²-x_2²+x_3² & -2x_2x_3 \\ -2x_1x_3 & - 2x_2x_3 & x_1²+x_2²-x_3²}
[/mm]
und das mim rausziehen ist wirklich alles was man vereinfachen kann??
viele grüße & dankeschön
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich weiss nicht was du hast, die det ist doch einfach. vielleicht noch in der diagonale besse [mm] z^{2}-2x_{i}^{2} [/mm] schreiben, und dann endlich losrechnen. so nen post zu schreiben dauert doch schon länger!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 So 18.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
Danke für deinen hinweis mit der diagonale - es dauert definitiv länger als so einen post zu schreiben!!! was meinst du wie lange ich schon dran rum gerechnet hab, ich bekomme ellenlange terme mit x irgendwas und mein ergebnis geht immernoch über 3 zeilen... deshalb frag ich ja, was ich falsch bzw einfacher machen könnte, oder wie du das so schnell hinbekommst??
also ich hab das mit dieser sarrus-regel versucht, aber mit so vielen indizes und quadraten ist das echts chrecklich!
viele grüße riley
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Da hat dich leduart auf die falsche Fährte gelockt. Bei der Matrix muß es selbstverständlich [mm]\frac{1}{z^2}[/mm], bei ihrer Determinante aber dann [mm]\frac{1}{z^6}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Riley |
HI und guten abend =)
hab meine det jetzt endlich fertig gerechnet. danke nochmal für eure tipss, das mit dem z war echt eine erleichterung. thx für den hinweis mit 1/z² bzw [mm] 1/z^6 [/mm] @ leopold_gast.
viele grüße
riley :)
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