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Leider bin ich kein Mathematiker. Deshalb bitte ich schon jetzt um Verzeihung für eine ggf. unsaubere Formulierung meines mathematischen Problems. Danke.
Das Problem:
Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X mit den Ausprägungen [mm] x_{i} [/mm] und zugehöriger Eintrittswahrscheinlichkeit [mm] \pi_{i}.
[/mm]
Außerdem sei f(x) eine in x streng monoton steigende Funktion mit f´(x)>0 und f´´(x)<0, wie beispielsweise: [mm] f(x)=\wurzel{x}.
[/mm]
Es gelte: f(X) = [mm] \summe_{i=1}^{n}(f(x_{i})*\pi_{i})
[/mm]
Weiterhin sei eine Funktion g(m,v) gegeben, wobei:
m = [mm] \summe_{i=1}^{n}(x_{i}*\pi_{i}), [/mm] also das arithmetische Mittel von X und
v = [mm] \summe_{i=1}^{n}((x_{i}-m)^2*\pi_{i}), [/mm] also die Varianz von X sei.
Ich möchte nun zeigen, für welche funktionalen Zusammenhänge von f(x), die Funktion g(m,v) indifferent bis auf monoton steigende Transformationen ist (bzw.: inwiefern beide Funktionen auf Ordinalskalenniveau für X zum selben Ergebnis führen).
Erweiterungsfrage 1: Kann eine gegebenenfalls existierende Lösung auf stetige Zufallsvariablen erweitert werden?
Erweiterungsfrage 2: Kann eine gegebenenfalls existierende Lösung auch auf Fälle verallgemeinert werden, in denen f(x) eine beliebige monotone Funktion in x darstellt?
Ich bin sehr auf etwaige Lösungsvorschläge gespannt.
Vielen Dank im Voraus.
PS.: Eine Bitte noch: Es wäre nett, wenn ihr bei vorausgesetzter Kenntnis eines bestimmten Theorems/ Regel/ Lemma/ etc. den Fachbegriff dazuschreiben könntet, damit ich dieses ggf. nachlesen und so die Lösung nachvollziehen kann. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 27.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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