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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 So 27.12.2009 | | Autor: | luna90 |
| Aufgabe | Es sei f : R [mm] \to [/mm] R stetig und es gelte f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y [mm] \in [/mm] R. Zeigen Sie, dass dann
f(x) = ax mit a = f(1) sein muss.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass f(x) = f(1)x für rationale x richtig ist. |
hallo,
also ich habe mich an der aufgabe probiert, aber ich weiß nicht ob das reicht, irgendwie ist es komisch
also da hab ich mir bisher gedacht:
z.z f(x)=xf(1) für f(x) = ax x [mm] \in [/mm] Q
f(1) = f( [mm] \bruch{1}{b}+...+\bruch{1}{b}) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{b})+...+f(\bruch{1}{b}) [/mm] = [mm] b*f(\bruch{1}{b})
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(\bruch{1}{b})=f(1)*\bruch{1}{b}
[/mm]
sei x= [mm] \bruch{1}{n}*m [/mm] mit n [mm] \in [/mm] N und m [mm] \in [/mm] Z
f(x)= [mm] f(\bruch{1}{n}*m) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{n}+...+\burch{1}{n}) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{n})+...+f(\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] m*f(\bruch{1}{n}) \overbrace{=}^{f(\bruch{1}{b})=f(1)*\bruch{1}{b}} [/mm] = m*1/n*f(1) =x*f(1)
Sei nun f(x)=ax und r [mm] \in [/mm] R
es gilt r = [mm] lim(q_n) [/mm] , wobei [mm] q_n [/mm] eine Folge rationaler Zahlen ist, da Q dicht in R liegt
f(r) = [mm] f(lim(q_n))\overbrace{=}^{f stetig} lim(f(q_n)) \overbrace{=}^{q_n \in Q} lim(q_n)*f(1)=r*f(1)
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
es wäre toll wenn mir einer helfen könnte
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei f : R [mm]\to[/mm] R stetig und es gelte
> f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y [mm]\in[/mm] R.
> Zeigen Sie, dass dann f(x) = ax mit a = f(1) sein muss.
> Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass f(x) = f(1)x für
> rationale x richtig ist.
> hallo,
> also ich habe mich an der aufgabe probiert, aber ich weiß
> nicht ob das reicht, irgendwie ist es komisch
> also da hab ich mir bisher gedacht:
>
> z.z f(x)=xf(1) für f(x) = ax x [mm]\in[/mm] Q
>
> f(1) = f( [mm]\bruch{1}{b}+...+\bruch{1}{b})[/mm] =
> [mm]f(\bruch{1}{b})+...+f(\bruch{1}{b})[/mm] = [mm]b*f(\bruch{1}{b})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(\bruch{1}{b})=f(1)*\bruch{1}{b}[/mm]
>
> sei x= [mm]\bruch{1}{n}*m[/mm] mit n [mm]\in[/mm] N und m [mm]\in[/mm] Z
>
> f(x)= [mm]f(\bruch{1}{n}*m)[/mm] = [mm]f(\bruch{1}{n}+...+\burch{1}{n})[/mm]
> = [mm]f(\bruch{1}{n})+...+f(\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]m*f(\bruch{1}{n}) \overbrace{=}^{f(\bruch{1}{b})=f(1)*\bruch{1}{b}}[/mm]
> = m*1/n*f(1) =x*f(1)
>
> Sei nun f(x)=ax und r [mm]\in[/mm] R
> es gilt r = [mm]lim(q_n)[/mm] , wobei [mm]q_n[/mm] eine Folge rationaler
> Zahlen ist, da Q dicht in R liegt
> f(r) = [mm]f(lim(q_n))\overbrace{=}^{f stetig} lim(f(q_n)) \overbrace{=}^{q_n \in Q} lim(q_n)*f(1)=r*f(1)[/mm]
Hallo luna90,
im Prinzip liegst du richtig. Dass du die vorgegebene
Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y) auf den Fall
mehrerer identischer Summanden
$\ [mm] f(m*x)=f\left(\summe_{i=1}^{m}x\right)=\summe_{i=1}^{m}f\left(x\right)=m*f(x)\qquad(m\in\IN)$
[/mm]
erweitern kannst, müsstest du jedoch noch zeigen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 27.12.2009 | | Autor: | luna90 |
vielen dank für die hilfe schon einmal,
also nur dass ich es nicht falsch verstanden habe, du hast es doch mit
$ \ [mm] f(m\cdot{}x)=f\left(\summe_{i=1}^{m}x\right)=\summe_{i=1}^{m}f\left(x\right)=m\cdot{}f(x)\qquad(m\in\IN) [/mm] $
bereits gezeigt und wenn ich das an den anfang setze, darf ich es dann auf jeden fall in meinem nachfolgenden beweis benutzen und es ist dann stimmig?
lg luna
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> vielen dank für die hilfe schon einmal,
>
> also nur dass ich es nicht falsch verstanden habe, du hast
> es doch mit
> [mm]\ f(m\cdot{}x)=f\left(\summe_{i=1}^{m}x\right)=\summe_{i=1}^{m}f\left(x\right)=m\cdot{}f(x)\qquad(m\in\IN)[/mm]
>
> bereits gezeigt und wenn ich das an den anfang setze, darf
> ich es dann auf jeden fall in meinem nachfolgenden beweis
> benutzen und es ist dann stimmig?
>
> lg luna
Nein, gezeigt habe ich es noch nicht, sondern nur
auf den Punkt gebracht, was noch zu zeigen ist.
Den Beweis kann man durch Induktion nach m
und mit dem Assoziativgesetz der Addition führen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 Mo 28.12.2009 | | Autor: | luna90 |
hm, ich versteh ehrlich gesagt nicht so ganz warum, weil man bei
$ \ [mm] f(m\cdot{}x)=f\left(\summe_{i=1}^{m}x\right)=\summe_{i=1}^{m}f\left(x\right)=m\cdot{}f(x)\qquad(m\in\IN) [/mm] $
nur m [mm] \cdot [/mm] x umschreibt, sowie m [mm] \cdot [/mm] x ja eigentlich definiert ist und ich dann die vorraussetzung f(x+y)=f(x)+f(y) anwende und dann wieder die definition von m [mm] \cdot [/mm] f(x) dann anwende. es ist doch eigentlich nur ein reines umformen, dass sich aus den gegeben sachen erschließt.
also ich bin leicht verwirrt. es wäre toll, wenn du mir das verdeutlichen könntest.
lg
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> hm, ich versteh ehrlich gesagt nicht so ganz warum, weil
> man bei
> [mm]\ f(m\cdot{}x)=f\left(\summe_{i=1}^{m}x\right)=\summe_{i=1}^{m}f\left(x\right)=m\cdot{}f(x)\qquad(m\in\IN)[/mm]
> nur m [mm]\cdot[/mm] x umschreibt, sowie m [mm]\cdot[/mm] x ja eigentlich
> definiert ist und ich dann die vorraussetzung
> f(x+y)=f(x)+f(y) anwende und dann wieder die definition von
> m [mm]\cdot[/mm] f(x) dann anwende. es ist doch eigentlich nur ein
> reines umformen, dass sich aus den gegeben sachen
> erschließt.
> also ich bin leicht verwirrt. es wäre toll, wenn du mir
> das verdeutlichen könntest.
>
> lg
Nun ja, es ist vielleicht so einfach, dass man es als
selbstverständlich auffassen kann. Dennoch: Die
gegebene Funktionalgleichung bezieht sich nur auf
zwei Summanden x und y:
$\ f(x+y)\ =\ f(x)+f(y)$
Wenn ich zeigen will, dass eine analoge Gleichung
dann auch für 3 Summanden gilt, also
$\ f(x+y+z)\ =\ f(x)+f(y)+f(z)$
dann gibt es, wenn man es so genau nimmt wie dies
in der Mathematik gefordert ist, wirklich schon einen
kleinen Nachweis zu führen, nämlich:
$\ f(x+y+z)\ =\ [mm] f(\underbrace{(x+y)}_{u}+z)\ [/mm] =\ f(u+z)\ =\ f(u)+f(z)$
$\ =\ f(x+y)+f(z)\ =\ (f(x)+f(y))+f(z)\ =\ f(x)+f(y)+f(z)$
Die Gleichheitszeichen stehen der Reihe nach für
AssG, Subst, FuGl, Subst, FuGl, AssG
(AssG = Assoziativgesetz, Subst = Substitution,
Fugl = Funktionalgleichung)
Dies lässt sich via vollst. Induktion auf beliebig
viele Summanden übertragen.
Das Ganze mag etwas pingelig erscheinen, doch
etwas Pingeligkeit gehört nun mal bei einem mathe-
matischen Nachweis dazu wie die Sicherungshaken
beim Klettern ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 28.12.2009 | | Autor: | luna90 |
ok, das akzeptier ich :D vielen dank für die geduld
also ich fass dann noch einmal zusammen:
z.z f(x)=xf(1) für f(x) = ax
i) sei x [mm] \in [/mm] Q
Behauptung: $ \ [mm] f(n\cdot{}x)=f\left(\summe_{i=1}^{n}x\right)=\summe_{i=1}^{n}f\left(x\right)=n\cdot{}f(x)\qquad(n\in\IN) [/mm] $
IA: n=1
[mm] f(1\cdot x)=f(x)=1\cdot{}f(x)
[/mm]
IV: für ein beliebiges, aber festes [mm] n\in [/mm] N gelte die Behauptung
IS: n [mm] \mapsto [/mm] n+1
[mm] f((n+1)x)=f(nx+x)\overbrace{=}^{f(x+y)=f(x)+f(y)}f(nx)+f(x){\overbrace{=}^{IV}}n\cdot f(x)+f(x)=(n+1)\cdot{}f(x)
[/mm]
desweiteren gilt demnach:
f(1) = [mm] f(b\cdot\bruch{1}{b})\overbrace{=}^{\ f(m\cdot{}x)=m\cdot{}f(x)\qquad}b\cdot{}f(\bruch{1}{b})
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow f(\bruch{1}{b})=f(1)\cdot{}\bruch{1}{b} [/mm] $
sei x= $ [mm] \bruch{1}{n}\cdot{}m [/mm] $ mit n $ [mm] \in [/mm] $ N und m $ [mm] \in [/mm] $ Z
f(x)= [mm] f(\bruch{1}{n}\cdot{}m) \overbrace{=}^{\ f(m\cdot{}x)=m\cdot{}f(x)\qquad} [/mm] $ [mm] m\cdot{}f(\bruch{1}{n}) \overbrace{=}^{f(\bruch{1}{b})=f(1)\cdot{}\bruch{1}{b}} [/mm] $ = m [mm] \cdot \bruch{1}{n} \cdot [/mm] f(1) =x [mm] \cdot [/mm] f(1)
Sei nun f(x)=ax und r $ [mm] \in [/mm] $ R
es gilt r = $ [mm] lim(q_n) [/mm] $ , wobei $ [mm] q_n [/mm] $ eine Folge rationaler Zahlen ist, da Q dicht in R liegt
$ f(r) = [mm] f(lim(q_n))\overbrace{=}^{f stetig} lim(f(q_n)) \overbrace{=}^{q_n \in Q} lim(q_n)\cdot{}f(1)=r\cdot{}f(1) [/mm] $
[mm] \Box
[/mm]
ist der beweis nun stimmig?
vielen dank für die hilfe
lg
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> ok, das akzeptier ich :D vielen dank für die geduld
>
> also ich fass dann noch einmal zusammen:
>
> z.z f(x)=xf(1) für f(x) = ax
>
> i) sei x [mm]\in[/mm] Q
>
> Behauptung: [mm]\ f(n\cdot{}x)=f\left(\summe_{i=1}^{n}x\right)=\summe_{i=1}^{n}f\left(x\right)=n\cdot{}f(x)\qquad(n\in\IN)[/mm]
>
> IA: n=1
>
> [mm]f(1\cdot x)=f(x)=1\cdot{}f(x)[/mm]
>
> IV: für ein beliebiges, aber festes [mm]n\in[/mm] N gelte die
> Behauptung
>
> IS: n [mm]\mapsto[/mm] n+1
>
> [mm]f((n+1)x)=f(nx+x)\overbrace{=}^{f(x+y)=f(x)+f(y)}f(nx)+f(x){\overbrace{=}^{IV}}n\cdot f(x)+f(x)=(n+1)\cdot{}f(x)[/mm]
>
> desweiteren gilt demnach:
>
> f(1) = [mm]f(b\cdot\bruch{1}{b})\overbrace{=}^{\ f(m\cdot{}x)=m\cdot{}f(x)\qquad}b\cdot{}f(\bruch{1}{b})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(\bruch{1}{b})=f(1)\cdot{}\bruch{1}{b}[/mm]
>
> sei x= [mm]\bruch{1}{n}\cdot{}m[/mm] mit n [mm]\in[/mm] N und m [mm]\in[/mm] Z
>
> [mm]f(x)= f(\bruch{1}{n}\cdot{}m) \overbrace{=}^{\ f(m\cdot{}x)=m\cdot{}f(x)\qquad}m\cdot{}f(\bruch{1}{n}) \overbrace{=}^{f(\bruch{1}{b})=f(1)\cdot{}\bruch{1}{b}}\ =\ m \cdot \bruch{1}{n} \cdot f(1) =x \cdot f(1)[/mm]
>
> Sei nun f(x)=ax und r [mm]\in[/mm] R
> es gilt r = [mm]lim(q_n)[/mm] , wobei [mm]q_n[/mm] eine Folge rationaler
> Zahlen ist, da Q dicht in R liegt
> [mm]f(r) = f(lim(q_n))\overbrace{=}^{f stetig} lim(f(q_n)) \overbrace{=}^{q_n \in Q} lim(q_n)\cdot{}f(1)=r\cdot{}f(1)\qquad\Box[/mm]
> ist der beweis nun stimmig?
Ja, das sieht nun sehr gut aus.
LG Al-Chw.
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