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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 02.11.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo ;) !
Sei f: X-> Y eine Funktion.
Man sollen zeigen:
Für alle Teilmengen A von X und B von Y gilt:
A ist unechte Teilmenge von f^(-1)(f(A)).
Außerdem f ist genau dann injektiv, wenn f^(-1)(f(A)) für jede unechte Teilmenge A von X gilt.
f^(-1)(...) ist das Urbild.
Kann mir jemand Tipps zum Lösen geben ?
Würde mich über eure Hilfe freuen. Danke.
Gruß,Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Do 04.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Fry!
Also, wir haben eine Funktion $f:X [mm] \to [/mm] Y$.
Behauptung 1: [mm] $\forall [/mm] A [mm] \subset X\, :\, [/mm] A [mm] \subset f^{-1}(f(A))$
[/mm]
Beweis:
Ist $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig gewählt, so folgt: $f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$, also: $x [mm] \in f^{-1}(f(A))$.
[/mm]
Behauptung 2: $A= [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] \ [mm] \forall \, [/mm] A [mm] \subset [/mm] X [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] f \ [mm] \mbox{ist injektiv}$
[/mm]
Beweis:
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Aus $f(x)=f(y)$ folgt: $x [mm] \in f^{-1}(f(y))$ [/mm] also:
$x [mm] \in f^{-1}(f(A))$ [/mm] mit [mm] $A=\{y\}$.
[/mm]
Nach Voraussetzung ist aber: $A= [mm] f^{-1}(f(A))$, [/mm] also folgt:
$x [mm] \in A=\{y\}$
[/mm]
und somit $x=y$.
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Zu zeigen bleibt nach der Behauptung 1:
[mm] $f^{-1}(f(A)) \subset [/mm] A$.
Ist $x [mm] \in f^{-1}(f(A))$ [/mm] beliebig gewählt, dann folgt:
$f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$,
d.h. es gibt ein $y [mm] \in [/mm] A$ mit $f(x) = f(y)$.
Aus der Injektivität von $f$ folgt: $x=y$,
also:
$x = y [mm] \in [/mm] A$.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Di 09.11.2004 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank
Julius für deine Antwort !
Thx!! :)
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