Funktionen Grad 3 bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Trick21 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3, deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
a) (0/1), B(1/0), C(-1/4). D(2/-5) |
Hallo zusammen, also folgendes Problem: Wenn die Aufgabenstellung hieße: Bestimme DIE ganzrationale Funktion dritten Grades die durch die angegebenen Punkte verläuft, wäre die Aufgabe kein Problem für mich.
Ich würde in diesem Fall nämlich folgendermaßen vorgehen:
f(x)= [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
4. Gleichungssysteme aufstellen und jeweils nach a,b,c und d auflösen.
Aber wie soll ich bitte ALLE ganzrationalen Funktionen angeben die durch die oben genannten Punkte verlaufen??
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Wär super nett, wenn mir da Jemand weiter helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Mi 09.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3,
> deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
>
> a) (0/1), B(1/0), C(-1/4). D(2/-5)
> Hallo zusammen, also folgendes Problem: Wenn die
> Aufgabenstellung hieße: Bestimme DIE ganzrationale
> Funktion dritten Grades die durch die angegebenen Punkte
> verläuft, wäre die Aufgabe kein Problem für mich.
>
> Ich würde in diesem Fall nämlich folgendermaßen
> vorgehen:
>
> f(x)= [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
>
> 4. Gleichungssysteme aufstellen und jeweils nach a,b,c und
> d auflösen.
>
> Aber wie soll ich bitte ALLE ganzrationalen Funktionen
> angeben die durch die oben genannten Punkte verlaufen??
Diese Formulierung schließt ja nicht aus, dass es letztendlich doch nur eine Möglichkeit gibt. Es wird lediglich am Beginn offen gelassen, ob es tatsächlich nur eine Lösung gibt.
Dein Ansatz ist durchaus in Ordnung.
Gruß Abakus
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> Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Wär super nett, wenn mir da Jemand weiter helfen könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Trick21 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3, deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
A(1/1), B(0/1) |
Aber wie wäre das bei dem Beispiel, wären hier mehrere Lösungen möglich?
Und wenn ja wie gehe ich bitte dabei vor, wenn ich ALLE ganzrationalen Funktionen dritten Grades berechnen möchte, die durch diese beiden Punkte verlaufen. Ich möchte das unbedingt können.
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Wenn du ein Polynom dritten Grades bestimmen willst, hast vier Unbekannte a,b,c und d. Damit du das eindeutig lösen kannst, brauchst du vier Gleichungen, die linear unabhängig sind.
Bei deinem zweiten Beispiel hast du nur zwei Punkte und damit nur zwei Gleichungen.
a + b +c +d =1 (1)
d =1 (2)
Das führt auf eine Schar von Polynomen dritten Grades, die abhängig sind von zwei Parametern. Zum Beispiel
(2) in (1)
a+b+c+1=1 [mm] \gdw [/mm] a=-b-c
[mm] \Rightarrow [/mm] p(x)= [mm] (-b-c)x^3+ bx^2+cx+1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Trick21 |
Vielen Dank, das habe ich soweit verstanden.
Ich habe eine Vermutung: Kann es sein, dass sich an der Stelle X=0,5 ein Extrema befindet?
Unsere zwei Punkte (0/1), (1/1) lassen mich das irgendwie erahnen, es kann auch sein, dass ich komplett falsch liege...
aber wenn wir wüssten, dass wir bei x=0,5 ein Extrema haben, könnten wir folgendes Gleichungssystem dazu nehmen:
f'(0,5)= [mm] 3ax^2+2bx+c [/mm] =0
Ist das möglich?
MfG
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> Ich habe eine Vermutung: Kann es sein, dass sich an der
> Stelle X=0,5 ein Extrema befindet?
Das hängt von der Wahl von b und c ab. Die sind ja nicht bestimmt und können frei gewählt werden.
> Unsere zwei Punkte (0/1), (1/1) lassen mich das irgendwie
> erahnen, es kann auch sein, dass ich komplett falsch
> liege...
Irgendwo zwischen 0 und 1 hat die Funktion eine Extremstelle, das ist richtig. Die muss aber nicht bei 0,5 sein.
> aber wenn wir wüssten, dass wir bei x=0,5 ein Extrema
> haben, könnten wir folgendes Gleichungssystem dazu
> nehmen:
>
> f'(0,5)= [mm]3ax^2+2bx+c[/mm] =0
>
> Ist das möglich?
> MfG
Ja genau, auch eine Ableitung wäre eine weitere Gleichung für unser Gleichungssystem. Damit hätte man dann drei Gleichungen und vier Unbekannte. Man hätte also immer noch eine Schar von Polynomen, allerdings nur noch abhängg von einem Faktor.
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