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| Aufgabe | Wo sind folgende Funktionen f(x), x [mm] \in \IR, [/mm] stetig beziehungsweise unstetig? Charakterisieren Sie die Arten der Unstetigkeitsstellen.
1. f(x) = [mm] (-1)^{[x]}
[/mm]
2. f(x) = [x] + [-x]
3. f(x) = [mm] (\bruch{sgn(x)}{x-2})^{2} [/mm] x [mm] \not= [/mm] 2
4. f(x) = 3x + [mm] (-1)^{sgn(x-2)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich habe mal einen Lösungsansatz und würde gerne wissen, ob das so stimmt.
1. f(x) = [mm] (-1)^{[x]} [/mm] :
Da [x] bedeutet, dass aus den reellen Zahlen, nur die ganzen Zahlen genommen werden, muss ich nur darauf achten ob x eine gerade oder ungerade ganze Zahl ist.
Die Funktion ist also stetig bei x = [mm] (-\infty, [/mm] 0] und unstetig bei x = (0, [mm] \infty), [/mm] da es ab x > 0 Sprungstellen gibt.
2. f(x) = [x] + [-x] :
Diese Funktion ist bei jedem x stetig, da bei jedem x Wert das Ergebnis 0 herauskommt.
3. f(x) = [mm] (\bruch{sgn(x)}{x-2})^{2} [/mm] :
Die Funktion ist hebbar unstetig und hat bei x = 2 eine Sprungstelle oder?
4. f(x) = 3x + [mm] (-1)^{sgn(x-2)} [/mm] :
Da sgn(x-2) als Ergebnis immer -1, 0 oder +1 liefert, kann ich die Funktion auch so aufschreiben:
f(x) = 3x - 1
Das ist eine lineare Funktion und ist stetig oder?
Hab ich etwas falsch verstanden und falsch gemacht?
Lg
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Hiho,
> Ich habe mal einen Lösungsansatz und würde gerne wissen,
> ob das so stimmt.
na dann wollen wir mal.
> 1. f(x) = [mm](-1)^{[x]}[/mm] :
>
> Da [x] bedeutet, dass aus den reellen Zahlen, nur die
> ganzen Zahlen genommen werden, muss ich nur darauf achten
> ob x eine gerade oder ungerade ganze Zahl ist.
>
> Die Funktion ist also stetig bei x = [mm](-\infty,[/mm] 0] und
> unstetig bei x = (0, [mm]\infty),[/mm] da es ab x > 0 Sprungstellen
> gibt.
Aha, für $x< 0$ gibts die aber auch.
Was käme denn bspw. raus für $x=-1,5$ und $x=-2,5$?
> 2. f(x) = [x] + [-x] :
>
> Diese Funktion ist bei jedem x stetig, da bei jedem x Wert
> das Ergebnis 0 herauskommt.
Nein. Um genau zu sein ist das Ergebnis sogar für jede Zahl aus [mm] $\IR\setminus\IZ$ [/mm] ungleich Null.
Schau nochmal, wie die Gaußklammer bei euch definiert ist und dann berechne doch mal
$[2,5] + [-2.5]$
> 3. f(x) = [mm](\bruch{sgn(x)}{x-2})^{2}[/mm] :
>
> Die Funktion ist hebbar unstetig und hat bei x = 2 eine
> Sprungstelle oder?
Hebbar unstetig? Also ich halt die Unstetigkeitsstelle eher nicht für hebbar.
Tip: Zieh das Quadrat mal in den Bruch rein, dann kannst du den Zähler massiv vereinfachen.
Du hast hier dann 2 kritische Stellen. Welche?
> 4. f(x) = 3x + [mm](-1)^{sgn(x-2)}[/mm] :
>
> Da sgn(x-2) als Ergebnis immer -1, 0 oder +1 liefert,
korrekt
> kann
> ich die Funktion auch so aufschreiben:
> f(x) = 3x - 1
> Das ist eine lineare Funktion und ist stetig oder?
So sieht die Funktion aber nicht aus!
Du hast doch 3 Fälle festgestellt. Wo sind die anderen 2?
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> > Ich habe mal einen Lösungsansatz und würde gerne wissen,
> > ob das so stimmt.
>
> na dann wollen wir mal.
>
> > 1. f(x) = [mm](-1)^{[x]}[/mm] :
> >
> > Da [x] bedeutet, dass aus den reellen Zahlen, nur die
> > ganzen Zahlen genommen werden, muss ich nur darauf achten
> > ob x eine gerade oder ungerade ganze Zahl ist.
> >
> > Die Funktion ist also stetig bei x = [mm](-\infty,[/mm] 0] und
> > unstetig bei x = (0, [mm]\infty),[/mm] da es ab x > 0 Sprungstellen
> > gibt.
>
> Aha, für [mm]x< 0[/mm] gibts die aber auch.
> Was käme denn bspw. raus für [mm]x=-1,5[/mm] und [mm]x=-2,5[/mm]?
Da würde doch immer -1 rauskommen oder?
[-1,5] = -2
[-2,5] = -3 oder?
[mm] (-1)^{-2} [/mm] = -1
[mm] (-1)^{-3} [/mm] = -1
>
> > 2. f(x) = [x] + [-x] :
> >
> > Diese Funktion ist bei jedem x stetig, da bei jedem x Wert
> > das Ergebnis 0 herauskommt.
>
> Nein. Um genau zu sein ist das Ergebnis sogar für jede
> Zahl aus [mm]\IR\setminus\IZ[/mm] ungleich Null.
> Schau nochmal, wie die Gaußklammer bei euch definiert ist
> und dann berechne doch mal
> [mm][2,5] + [-2.5][/mm]
Das ist doch 2 - 3 = -1 oder?
Das heißt für [mm] \IR \backslash \IZ [/mm] ist x immer -1. Und für ganze Zahlen immer 0?
>
>
> > 3. f(x) = [mm](\bruch{sgn(x)}{x-2})^{2}[/mm] :
> >
> > Die Funktion ist hebbar unstetig und hat bei x = 2 eine
> > Sprungstelle oder?
>
> Hebbar unstetig? Also ich halt die Unstetigkeitsstelle eher
> nicht für hebbar.
> Tip: Zieh das Quadrat mal in den Bruch rein, dann kannst
> du den Zähler massiv vereinfachen.
> Du hast hier dann 2 kritische Stellen. Welche?
Stimmt ich habe dann folgende Möglichkeiten:
x > 0 [mm] \Rightarrow \bruch{1}{(x-2)^{2}}
[/mm]
x = 0 [mm] \Rightarrow \bruch{0}{(x-2)^{2}} \Rightarrow [/mm] 0
x < 0 [mm] \Rightarrow \bruch{1}{(x-2)^{2}}
[/mm]
Meinst du diese Stellen?
>
>
> > 4. f(x) = 3x + [mm](-1)^{sgn(x-2)}[/mm] :
> >
> > Da sgn(x-2) als Ergebnis immer -1, 0 oder +1 liefert,
>
> korrekt
> > kann
> > ich die Funktion auch so aufschreiben:
> > f(x) = 3x - 1
> > Das ist eine lineare Funktion und ist stetig oder?
>
> So sieht die Funktion aber nicht aus!
> Du hast doch 3 Fälle festgestellt. Wo sind die anderen
> 2?
Kann ich die anderen Fälle nicht außer Acht lassen?
Denn
[mm] (-1)^{1} [/mm] = -1
[mm] (-1)^{0} [/mm] = -1
[mm] (-1)^{-1} [/mm] = -1
Lg
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> Da würde doch immer -1 rauskommen oder?
nein.
> [-1,5] = -2
> [-2,5] = -3 oder?
>
> [mm](-1)^{-2}[/mm] = -1
> [mm](-1)^{-3}[/mm] = -1
auweia, Potenzgesetze üben und dann nochmal [mm] $(-1)^{-2}$ [/mm] ausrechnen.
Tip: Da kommt NICHT -1 raus.
> Das ist doch 2 - 3 = -1 oder?
> Das heißt für [mm]\IR \backslash \IZ[/mm] ist x immer -1. Und
> für ganze Zahlen immer 0?
na nicht x, aber f(x), ja.
> Stimmt ich habe dann folgende Möglichkeiten:
> x > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{(x-2)^{2}}[/mm]
> x = 0 [mm]\Rightarrow \bruch{0}{(x-2)^{2}} \Rightarrow[/mm]
> 0
> x < 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{(x-2)^{2}}[/mm]
Wo ist hier im letzten Schritt das Vorzeichen hin? was ist denn [mm] $\text{sgn}(x)$ [/mm] für $x<0$
> Meinst du diese Stellen?
Eine Unstetigkeitsstelle hast du noch vergessen. Schau dir mal den Nenner an.
> > > 4. f(x) = 3x + [mm](-1)^{sgn(x-2)}[/mm] :
> > >
> > > Da sgn(x-2) als Ergebnis immer -1, 0 oder +1 liefert,
> >
> Kann ich die anderen Fälle nicht außer Acht lassen?
> Denn
> [mm](-1)^{1}[/mm] = -1
> [mm](-1)^{0}[/mm] = -1
> [mm](-1)^{-1}[/mm] = -1
Auch hier: Potenzgesetze nacharbeiten! [mm] a^0 [/mm] ist was für alle $a [mm] \in \IR\setminus\{0\}$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> > Da würde doch immer -1 rauskommen oder?
>
> nein.
Oh stimmt, es springt für alle x zwischen 1 und -1 hin und her oder?
>
> > [-1,5] = -2
> > [-2,5] = -3 oder?
> >
> > [mm](-1)^{-2}[/mm] = -1
> > [mm](-1)^{-3}[/mm] = -1
>
> auweia, Potenzgesetze üben und dann nochmal [mm](-1)^{-2}[/mm]
> ausrechnen.
> Tip: Da kommt NICHT -1 raus.
Oh mann, stimmt ja. [mm] (-1)^{-2} [/mm] = 1 und [mm] (-1)^{-3} [/mm] = -1
>
> > Das ist doch 2 - 3 = -1 oder?
> > Das heißt für [mm]\IR \backslash \IZ[/mm] ist x immer -1. Und
> > für ganze Zahlen immer 0?
>
> na nicht x, aber f(x), ja.
>
> > Stimmt ich habe dann folgende Möglichkeiten:
> > x > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{(x-2)^{2}}[/mm]
> > x = 0
> [mm]\Rightarrow \bruch{0}{(x-2)^{2}} \Rightarrow[/mm]
> > 0
> > x < 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{(x-2)^{2}}[/mm]
>
> Wo ist hier im letzten Schritt das Vorzeichen hin? was ist
> denn [mm]\text{sgn}(x)[/mm] für [mm]x<0[/mm]
Aber ich hab doch [mm] (\bruch{sgn(x)}{x-2})^{2} \Rightarrow \bruch{(sgn(x))^{2}}{(x-2)^{2}}
[/mm]
Bei x < 0 hab ich dann ja [mm] \bruch{(-1)^{2}}{(x-2)^{2}} \Rightarrow \bruch{1}{(x-2)^{2}} [/mm] oder?
>
> > Meinst du diese Stellen?
>
> Eine Unstetigkeitsstelle hast du noch vergessen. Schau dir
> mal den Nenner an.
Ah stimmt ja. Die Polstelle bei x = 2. Meinst du diese? Diese Polstelle hat die 2. Ordnung oder?
>
> > > > 4. f(x) = 3x + [mm](-1)^{sgn(x-2)}[/mm] :
> > > >
> > > > Da sgn(x-2) als Ergebnis immer -1, 0 oder +1 liefert,
> > >
>
> > Kann ich die anderen Fälle nicht außer Acht lassen?
> > Denn
> > [mm](-1)^{1}[/mm] = -1
> > [mm](-1)^{0}[/mm] = -1
> > [mm](-1)^{-1}[/mm] = -1
>
> Auch hier: Potenzgesetze nacharbeiten! [mm]a^0[/mm] ist was für
> alle [mm]a \in \IR\setminus\{0\}[/mm] ?
[mm] a^{0} [/mm] ist für alle [mm] a\in \IR \backslash\{0\} [/mm] natürlich +1
Das heißt also, dass ich in der Funktion [mm] 3x+(-1)^{sgn(x-2)} [/mm] an der Stelle x = 2 eine Unstetigkeitsstelle habe?
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
ja, die Frage ist nur: Wo springt es? Wo ist es stetig?
> Oh mann, stimmt ja. [mm](-1)^{-2}[/mm] = 1 und [mm](-1)^{-3}[/mm] = -1
korrekt
> Aber ich hab doch [mm](\bruch{sgn(x)}{x-2})^{2} \Rightarrow \bruch{(sgn(x))^{2}}{(x-2)^{2}}[/mm]
Stimmt. Vergiss meinen Kommentar. Hab verdrängt, dass der gesammte Bruch quadriert wird.
> Ah stimmt ja. Die Polstelle bei x = 2. Meinst du diese?
> Diese Polstelle hat die 2. Ordnung oder?
Jo.
> [mm]a^{0}[/mm] ist für alle [mm]a\in \IR \backslash\{0\}[/mm] natürlich
> +1
> Das heißt also, dass ich in der Funktion
> [mm]3x+(-1)^{sgn(x-2)}[/mm] an der Stelle x = 2 eine
> Unstetigkeitsstelle habe?
Ja.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> ja, die Frage ist nur: Wo springt es? Wo ist es stetig?
Es springt bei jeder ganzen Zahl von x zwischen 1 und -1 hin und her oder? Die Funktion ist also bei jedem ganzen x unstetig oder?
Und bei jedem [mm] x\in\IR\backslash\IZ [/mm] stetig?
>
> > Oh mann, stimmt ja. [mm](-1)^{-2}[/mm] = 1 und [mm](-1)^{-3}[/mm] = -1
>
> korrekt
>
> > Aber ich hab doch [mm](\bruch{sgn(x)}{x-2})^{2} \Rightarrow \bruch{(sgn(x))^{2}}{(x-2)^{2}}[/mm]
>
> Stimmt. Vergiss meinen Kommentar. Hab verdrängt, dass der
> gesammte Bruch quadriert wird.
>
> > Ah stimmt ja. Die Polstelle bei x = 2. Meinst du diese?
> > Diese Polstelle hat die 2. Ordnung oder?
>
> Jo.
Das heißt also, dass die Funktion bei x = 0 und bei x = 2 unstetig ist?
Bei x = 2 hab ich eine Polstelle, dass ist auch die Unstetigkeit. Doch welche Art der Unstetigkeit hab ich bei x = 0?
>
> > [mm]a^{0}[/mm] ist für alle [mm]a\in \IR \backslash\{0\}[/mm] natürlich
> > +1
>
> > Das heißt also, dass ich in der Funktion
> > [mm]3x+(-1)^{sgn(x-2)}[/mm] an der Stelle x = 2 eine
> > Unstetigkeitsstelle habe?
>
> Ja.
Ist das eine hebbare Unstetigkeitsstelle? Oder welche Art der Unstetigkeitsstelle liegt hier vor?
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | matux |
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