www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionenFunktionenfolge
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Funktionen" - Funktionenfolge
Funktionenfolge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktionenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Mo 02.12.2013
Autor: piriyaie

Aufgabe
[mm] f_{n}:[0, \infty) \rightarrow \IR [/mm] , x [mm] \rightarrow \bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}} [/mm]

Untersuchen Sie obige Funktion auf punktweise und gleichmäßige konvergenz und geben Sie ggf. die Grenzwertfunktion f an.

Hallo,

wollte grad mal obige Aufgabe lösen. Hier mein Lösungsvorschlag:

[mm] f_{n}:[0, \infty) \rightarrow \IR [/mm] , x [mm] \rightarrow \bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}} [/mm]

[mm] f_{n} [/mm] konvergiert punktweise, falls [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] existiert.

Also:

[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0 \surd [/mm]

[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert punktweise.

[mm] f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig, falls [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} |f(x)-f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall \varepsilon [/mm] > 0, wobei [mm] f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x). [/mm]

Also:

[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} |f(x)-f_{n}(x)|=\lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] | [mm] 0-(\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}} [/mm] )|= [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] | [mm] -\bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}}|= \lim_{n \rightarrow \infty} |-\bruch{1}{n} \cdot \bruch{1}{e^{\bruch{x}{n}}}| =\lim_{n \rightarrow \infty} |-\bruch{1}{ne^{\bruch{x}{n}}}|=\lim_{n \rightarrow \infty} -\bruch{1}{ne^{\bruch{x}{n}}} \le \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0 < [mm] \varepsilon \surd [/mm]

[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert gleimäßig

Denkt ihr das ist alles richtig so???

Danke schonmal.

Grüße
Ali

        
Bezug
Funktionenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mo 02.12.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> [mm]f_{n}:[0, \infty) \rightarrow \IR[/mm] , x [mm]\rightarrow \bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]

> [mm]f_{n}[/mm] konvergiert punktweise, falls [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm] existiert.
>  
> Also:
>  
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm] = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0 \surd[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] konvergiert punktweise.

Das ist in Ordnung.

  

> [mm]f_{n}[/mm] konvergiert gleichmäßig, falls [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} |f(x)-f_{n}(x)|[/mm]
> < [mm]\varepsilon \forall \varepsilon[/mm] > 0, wobei
> [mm]f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x).[/mm]

Ab hier wirds unsinnig.
Das [mm] \lim_{n\to\infinity} [/mm] hat dort nichts zu suchen oder du verwendest statt des Betrags die Supremumsnorm.

Also entweder du schreibst

$ [mm] |f(x)-f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon \; \forall\, [/mm]  x$

oder:

[mm] $\lim_{n\to\infinity} [/mm] ||f - [mm] f_n||_\infty [/mm] = 0$

Deine Umformungen sind aber für den ersten Fall gar nicht schlecht.
Versuche dich also mal daran zu zeigen, dass $ [mm] |f(x)-f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] unabhängig von x! Eine Abschätzung zu [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist da immer sehr hilfreich :-)

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Funktionenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mo 02.12.2013
Autor: piriyaie


> Hiho,
>  
>
> > [mm]f_{n}:[0, \infty) \rightarrow \IR[/mm] , x [mm]\rightarrow \bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]
>  
> > [mm]f_{n}[/mm] konvergiert punktweise, falls [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm]
> existiert.
> >  

> > Also:
>  >  
> > [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm] = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0 \surd[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] konvergiert punktweise.
>  
> Das ist in Ordnung.
>  
>
> > [mm]f_{n}[/mm] konvergiert gleichmäßig, falls [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} |f(x)-f_{n}(x)|[/mm]
> > < [mm]\varepsilon \forall \varepsilon[/mm] > 0, wobei
> > [mm]f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x).[/mm]
>  
> Ab hier wirds unsinnig.
>  Das [mm]\lim_{n\to\infinity}[/mm] hat dort nichts zu suchen oder du
> verwendest statt des Betrags die Supremumsnorm.
>  
> Also entweder du schreibst
>  
> [mm]|f(x)-f_{n}(x)| < \varepsilon \; \forall\, x[/mm]
>  
> oder:
>  
> [mm]\lim_{n\to\infinity} ||f - f_n||_\infty = 0[/mm]
>  
> Deine Umformungen sind aber für den ersten Fall gar nicht
> schlecht.
>  Versuche dich also mal daran zu zeigen, dass
> [mm]|f(x)-f_{n}(x)| < \varepsilon[/mm] unabhängig von x! Eine
> Abschätzung zu [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist da immer sehr hilfreich
> :-)
>  
> Gruß,
>  Gono.

Danke Gono,

ich würde es so machen:

[mm] f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig, falls [mm] |f(x)-f_{n}(x)|< \varepsilon \forall \varepsilon [/mm] > 0, wobei [mm] f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x). [/mm]

Also:

[mm] |f(x)-f_{n}(x)|=|0-(\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}})|=|-\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}|=\bruch{1}{n} \cdot \bruch{1}{e^{\bruch{x}{n}}}=\bruch{1}{ne^{\bruch{x}{n}}} \le \bruch{1}{n} [/mm]

darf ich jetzt zum schluss noch schreiben [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ???

oder ist es einfach damit fertig, dass da steht [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und das ist ja eine nullfolge und fertig???

Und die letzte Frage ist noch: Was ist die Grenzwertfunktion f? Wie ist diese definiert???

Danke schonmal.

Grüße
Ali


Bezug
                        
Bezug
Funktionenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mo 02.12.2013
Autor: leduart

Hallo
es fehlt dabei [mm] e^{x/n}\ge [/mm] 1 für alle x aus [mm] (0,\infty) [/mm]
Grenzwertfunktion kenn ich nicht, deine Grenzfunktion hast du doch selbst geschrieben ist hier f(x)=0
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Funktionenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:18 Di 03.12.2013
Autor: piriyaie


> Hallo
>   es fehlt dabei [mm]e^{x/n}\ge[/mm] 1 für alle x aus [mm](0,\infty)[/mm]

soll ich das einfach zum schluss hinschreiben? ober wo kommt das genau hin???

>  Grenzwertfunktion kenn ich nicht, deine Grenzfunktion hast
> du doch selbst geschrieben ist hier f(x)=0
>  Gruß leduart


Bezug
                                        
Bezug
Funktionenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Di 03.12.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

na wo schätzt du [mm]e^{x/n}[/mm] denn ab? Und kannst du begründen, warum das immer größer gleich 1 ist?

Gruß,
Gono.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]