Funktionenfolge/ptw&glm Konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Di 25.10.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Untersuchen sie welche der folgenden Funktionenfolgen punktweise bzw. gleichmäßig konvergieren.
a) [mm] f_{n} [/mm] :[0;1[ -> [mm] \IR: f_{n}(x)=x^n [/mm] , [mm] n\in \IN
[/mm]
b) [mm] f_{n} [/mm] [1,100] -> [mm] \IR [/mm] : [mm] f_{n}(x)= \bruch{x^2}{x+n}, n\in \IN
[/mm]
c) [mm] f_{n}: \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] : [mm] f_n{x}= sin(x)^n,n\in \IN
[/mm]
d) [mm] f_n: [/mm] [0,1[ -> [mm] \IR [/mm] : [mm] f_{n}(x)=ln(1+\bruch{x}{n}), n\in \IN [/mm] |
Hallo,
bei der a habe ich irgendwie probleme mit der schreibweise.
Also wäre super, wenn jemand mir sagen kann, ob ich das so stehen lassen kann.
Wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x^n=0 [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x gilt
[mm] f_{n}(x) [/mm] -> f(x):=0 punktweise konv.
da die 1 nicht zur Funktionsfolge gehört ist diese stetig und somit auch glm. konv. gegen 0.
ist das so ok?
zu b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{x+n}=\bruch{x}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] ->1 für x>0
also pktw. richtig?
und nicht glm. weil sie nicht stetig ist.
Vielen dank im voraus.
Lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie welche der folgenden Funktionenfolgen
> punktweise bzw. gleichmäßig konvergieren.
>
>
> a) [mm]f_{n}[/mm] :[0;1[ -> [mm]\IR: f_{n}(x)=x^n[/mm] , [mm]n\in \IN[/mm]
>
> b) [mm]f_{n}[/mm] [1,100] -> [mm]\IR[/mm] : [mm]f_{n}(x)= \bruch{x^2}{x+n}, n\in \IN[/mm]
>
> c) [mm]f_{n}: \IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] : [mm]f_n{x}= sin(x)^n,n\in \IN[/mm]
>
> d) [mm]f_n:[/mm] [0,1[ -> [mm]\IR[/mm] : [mm]f_{n}(x)=ln(1+\bruch{x}{n}), n\in \IN[/mm]
>
> Hallo,
>
> bei der a habe ich irgendwie probleme mit der
> schreibweise.
>
> Also wäre super, wenn jemand mir sagen kann, ob ich das so
> stehen lassen kann.
>
> Wegen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x^n=0[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] x gilt
Du meinst : 0 [mm] \le [/mm] x <1
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] -> f(x):=0 punktweise konv.
Ja, [mm] (f_n) [/mm] konv. auf [0,1[ punktweise gegen die Nullfunktion.
>
> da die 1 nicht zur Funktionsfolge gehört
Unsinn !
Die 1 gehört nicht zu [0,1[
> ist diese stetig
Wer oder was ist stetig ?
> und somit auch glm. konv. gegen 0.
Nee, nee, so geht das nicht !
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0;1[ nicht glm. gegen 0, denn würde die Folge [mm] (f_n) [/mm] dies tun, so wäre [mm] (f_n(1/\wurzel[n]{2})) [/mm] eine Nullfolge. Ist das der Fall ?
>
> ist das so ok?
>
> zu b)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{x+n}=\bruch{x}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
> ->1 für x>0
Au Backe, falscher gehts nicht.
bei festem x [mm] \in [/mm] [1,100]hast Du doch : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{x+n}=0
[/mm]
>
> also pktw. richtig?
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [1,100] punktweise gegen die Nullfunktion.
>
> und nicht glm. weil sie nicht stetig ist.
Wer oder was ist nicht stetig ?
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [1,100] gleichmäßig !
Zeige dazu: [mm] |f_n(x)| \le \bruch{10000}{n} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [1,100]
FRED
>
>
>
> Vielen dank im voraus.
>
> Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 25.10.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erst einmal für deine schnelle Antw.
> [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [0;1[ nicht glm. gegen 0, denn würde
> die Folge [mm](f_n)[/mm] dies tun, so wäre [mm](f_n(1/\wurzel[n]{2}))[/mm]
> eine Nullfolge. Ist das der Fall ?
Nein, denn diese konv. für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 1. Ok ich habe jz verstanden, warum die Funktionenfolge nicht glm. konv. ist, aber wie kommst du auf [mm] (f_n(1/\wurzel[n]{2}))?
[/mm]
> [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [1,100] gleichmäßig !
>
> Zeige dazu: [mm]|f_n(x)| \le \bruch{10000}{n}[/mm] für x [mm]\in[/mm]
> [1,100]
>
kann ich schreiben:
[mm] |f_n(x)|=|\bruch{x^2}{x+n}|=|\bruch{x}{1+\bruch{n}{x}}|\le \bruch{x}{\bruch{n}{x}}=\bruch{x^2}{n}\le\bruch{1000}{n} [/mm] ->0
für [mm] x\in [/mm] [1,100]
also glm. konv.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mi 26.10.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
folgendes zu c:
die sinus funktion ist periodisch und deshalb nicht konvergent. Reicht diese Aussage? ( was mich jedoch verunsichert ist, dass mein Taschenrechner für ein festes x und für n gegen unendlich zeigt, dass das ganze gegen Null strebt.)
d)
Wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ln(1+\bruch{x}{n})=0 [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 gilt
[mm] f_{n}(x) [/mm] -> f(x):=0 punktweise konv.
ich denke das sie nicht glm. konv. ist, aber weiß nicht, wie ich es zeigen soll :-S ich glaube es ist so ähnlich wie bei der a. Wenn ich wüsste, wie man auf fn [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{2}} [/mm] kommt, würde mir vlt. was einfallen.
bin für jeden Tipp dankbar.
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> folgendes zu c:
>
> die sinus funktion ist periodisch und deshalb nicht
> konvergent.
Da geht aber viel mächtig durcheinander !
> Reicht diese Aussage?
Deine Aussage ist Quark.
( was mich jedoch
> verunsichert ist, dass mein Taschenrechner für ein festes
> x und für n gegen unendlich zeigt, dass das ganze gegen
> Null strebt.)
1. Es ist |sin(x)| [mm] \le [/mm] 1 für jedes x.
2. Ist x so, dass |sin(x)|<1 ist, so gilt: [mm] f_n(x)=(sin(x))^n \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Für welche x ist das der Fall ?
3. Ist x so, dass sin(x)=1 ist, so gilt: [mm] f_n(x)=(sin(x))^n \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Für welche x ist das der Fall ?
4.Ist x so, dass sin(x)=-1 ist, so gilt: [mm] f_n(x)=(-1)^n, (f_n(x)) [/mm] ist also divergent.
Für welche x ist das der Fall ?
>
>
> d)
>
> Wegen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ln(1+\bruch{x}{n})=0[/mm] für
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 gilt
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] -> f(x):=0 punktweise konv.
Das stimmt.
>
> ich denke das sie nicht glm. konv. ist,
Da liegst Du falsch !
Für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und n [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] $|f_n(x)| =ln(1+\bruch{x}{n}) \le ln(1+\bruch{1}{n})$ [/mm] (warum ?)
Was treibt [mm] (ln(1+\bruch{1}{n})) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
> aber weiß nicht,
> wie ich es zeigen soll :-S ich glaube es ist so ähnlich
> wie bei der a. Wenn ich wüsste, wie man auf fn
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{2}}[/mm] kommt, würde mir vlt. was
> einfallen.
>
> bin für jeden Tipp dankbar.
>
> Lg
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 26.10.2011 | | Autor: | melisa1 |
>
>
> 1. Es ist |sin(x)| [mm]\le[/mm] 1 für jedes x.
>
> 2. Ist x so, dass |sin(x)|<1 ist, so gilt:
> [mm]f_n(x)=(sin(x))^n \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Für welche x ist das der Fall ?
Für [mm] 0
> 3. Ist x so, dass sin(x)=1 ist, so gilt: [mm]f_n(x)=(sin(x))^n \to[/mm]
> 1 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Für welche x ist das der Fall ?
[mm] x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
> 4.Ist x so, dass sin(x)=-1 ist, so gilt: [mm]f_n(x)=(-1)^n, (f_n(x))[/mm]
> ist also divergent.
>
> Für welche x ist das der Fall ?
für [mm] x=\bruch{3\pi}{2}
[/mm]
Die Funktionenfolge ist also nicht stetig und deshalb nicht glm. konv. richtig?
> > ich denke das sie nicht glm. konv. ist,
>
> Da liegst Du falsch !
>
> Für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und n [mm]\in \IN[/mm] ist
>
> [mm]|f_n(x)| =ln(1+\bruch{x}{n}) \le ln(1+\bruch{1}{n})[/mm] (warum
> ?)
weil [mm] x\le [/mm] 1
>
> Was treibt [mm](ln(1+\bruch{1}{n}))[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] ?
>
strebt gegen 0. Ok hab ich verstanden. Vielen dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> >
> > 1. Es ist |sin(x)| [mm]\le[/mm] 1 für jedes x.
> >
> > 2. Ist x so, dass |sin(x)|<1 ist, so gilt:
> > [mm]f_n(x)=(sin(x))^n \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> >
> > Für welche x ist das der Fall ?
>
>
> Für [mm]0
Und welche noch ? [mm] f_n [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert !
>
>
>
> > 3. Ist x so, dass sin(x)=1 ist, so gilt: [mm]f_n(x)=(sin(x))^n \to[/mm]
> > 1 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> >
> > Für welche x ist das der Fall ?
>
>
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm]
Und welche noch ? [mm] f_n [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert !
>
>
>
> > 4.Ist x so, dass sin(x)=-1 ist, so gilt: [mm]f_n(x)=(-1)^n, (f_n(x))[/mm]
> > ist also divergent.
> >
> > Für welche x ist das der Fall ?
>
>
> für [mm]x=\bruch{3\pi}{2}[/mm]
Und welche noch ? [mm] f_n [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert !
FRED
>
>
> > > ich denke das sie nicht glm. konv. ist,
> >
> > Da liegst Du falsch !
> >
> > Für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und n [mm]\in \IN[/mm] ist
> >
> > [mm]|f_n(x)| =ln(1+\bruch{x}{n}) \le ln(1+\bruch{1}{n})[/mm] (warum
> > ?)
>
>
>
> weil [mm]x\le[/mm] 1
>
> >
> > Was treibt [mm](ln(1+\bruch{1}{n}))[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] ?
> >
>
> strebt gegen 0. Ok hab ich verstanden. Vielen dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 26.10.2011 | | Autor: | melisa1 |
> > >
> > >
> > > 1. Es ist |sin(x)| [mm]\le[/mm] 1 für jedes x.
> > >
> > > 2. Ist x so, dass |sin(x)|<1 ist, so gilt:
> > > [mm]f_n(x)=(sin(x))^n \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> > >
> > > Für welche x ist das der Fall ?
> >
> >
> > Für [mm]0
>
> Und welche noch ? [mm]f_n[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert !
für - [mm] \bruch{3\pi}{2}
[/mm]
> > > 3. Ist x so, dass sin(x)=1 ist, so gilt: [mm]f_n(x)=(sin(x))^n \to[/mm]
> > > 1 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> > >
> > > Für welche x ist das der Fall ?
> >
> >
> > [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
>
> Und welche noch ? [mm]f_n[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert !
für [mm] -\bruch{3\pi}{2}
[/mm]
> >
> >
> >
> > > 4.Ist x so, dass sin(x)=-1 ist, so gilt: [mm]f_n(x)=(-1)^n, (f_n(x))[/mm]
> > > ist also divergent.
> > >
> > > Für welche x ist das der Fall ?
> >
> >
> > für [mm]x=\bruch{3\pi}{2}[/mm]
>
>
> Und welche noch ? [mm]f_n[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert !
>
>
für [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
die funktionenfolge ist also nicht stetig und deshalb auch nicht glm konv.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > >
> > > >
> > > > 1. Es ist |sin(x)| [mm]\le[/mm] 1 für jedes x.
> > > >
> > > > 2. Ist x so, dass |sin(x)|<1 ist, so gilt:
> > > > [mm]f_n(x)=(sin(x))^n \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> > > >
> > > > Für welche x ist das der Fall ?
> > >
> > >
> > > Für [mm]0
> >
> > Und welche noch ? [mm]f_n[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert !
>
>
>
> für - [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm]
>
> > > > 3. Ist x so, dass sin(x)=1 ist, so gilt: [mm]f_n(x)=(sin(x))^n \to[/mm]
> > > > 1 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> > > >
> > > > Für welche x ist das der Fall ?
> > >
> > >
> > > [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm]
> >
> >
> > Und welche noch ? [mm]f_n[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert !
>
>
> für [mm]-\bruch{3\pi}{2}[/mm]
>
>
> > >
> > >
> > >
> > > > 4.Ist x so, dass sin(x)=-1 ist, so gilt: [mm]f_n(x)=(-1)^n, (f_n(x))[/mm]
> > > > ist also divergent.
> > > >
> > > > Für welche x ist das der Fall ?
> > >
> > >
> > > für [mm]x=\bruch{3\pi}{2}[/mm]
> >
> >
> > Und welche noch ? [mm]f_n[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert !
> >
> >
>
>
> für [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm]
Ist das zu fassen ? Wie oft noch: [mm] f_n [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert !
Bist Du nicht in der Lage herauszufinden in welchen Intervallen |sin(x)|<1 ist, in welchen Punkten sin(x)=1 ist und in welchen Punkten sin(x)=-1 ist ?
>
>
> die funktionenfolge ist also nicht stetig
Unsinn ! Jedes [mm] f_n [/mm] ist stetig
> und deshalb auch
> nicht glm konv.
Nix deshalb ! [mm] (f_n) [/mm] konv. ja noch nicht mal punktweise auf [mm] \IR.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 26.10.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok sry, dass meinte ich vorhin mit periode. Ich habe mich falsch ausgedrückt.
Das geht natürlich so weiter 1 für [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2}, \bruch{9\pi}{2}, [/mm]
[mm] \bruch{13\pi}{2},.....
[/mm]
Die Funktionenfolge ist divergent (0,1,0,-1,0,1,0,-1.....)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok sry, dass meinte ich vorhin mit periode. Ich habe mich
> falsch ausgedrückt.
>
> Das geht natürlich so weiter 1 für [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2}, \bruch{9\pi}{2},[/mm]
>
> [mm]\bruch{13\pi}{2},.....[/mm]
>
> Die Funktionenfolge ist divergent (0,1,0,-1,0,1,0,-1.....)
Ich gebs auf...
FRED
|
|
|
|
