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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Sa 09.05.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | | Bestimme für die Funktionenfolge die Grenzfunktion. Konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig auf D??? |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich verstehe das mit der gleichmäßigen Konvergenz nicht, was muss da rauskommen damit es konvergiert oder wie funktioniert das????
danke lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo csak1162,
bitte tippe deine Frage(n) ein.
So kann man überhaupt nicht vernünftig zitieren und Kommentare an die passenden Stellen schreiben.
Und wenn du schon einscannst, dann bitte in vernünftiger Größe und nicht als Plakat!
> Bestimme für die Funktionenfolge die Grenzfunktion.
> Konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig auf D???
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich verstehe das mit der gleichmäßigen Konvergenz nicht,
> was muss da rauskommen damit es konvergiert oder wie
> funktioniert das????
Ja, die Grenzfunktion ist $f(x)=0$
Für gleichmäßige Konvergenz muss die Folge [mm] $|f_n(x)-f(x)|$ [/mm] Nullfolge sein:
[mm] $f_n$ [/mm] konvergiert glm. gegen $f \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ [mm] \forall \varepsilon>0\exists N\in\IN\forall n\ge\IN\forall x\in\IR:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
[/mm]
Genau das wird hier abgeschätzt
[mm] $|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-0|=|f_n(x)|=\frac{1}{n+\underbrace{\frac{x^2}{n}}_{\ge 0}} [/mm] \ [mm] \le \frac{1}{n}$ [/mm] (Nenner verkleinert --> Bruch vergrößert)
Und das soll kleiner [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein, also [mm] $\frac{1}{n}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Daraus konstruiert man das gesuchte $N$, indem man nach $n$ auflöst ..
>
> danke lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 So 10.05.2009 | | Autor: | csak1162 |
das ist ja auch eine möglichkeit gleichmäßige KOnvergenz zu zeigen. Was bedeutet das dann???
[mm] sup|f_{n}(x) [/mm] - f(x)| = sup [mm] \bruch{n}{n² + x} \le [/mm] 1/x
lim [mm] sup|f_{n}(x) [/mm] - f(x)| = 0 -> gleichmäßige Konvergenz
muss hier immer 0 rauskommen damit gleichmäßig konvergent????
> Und das soll kleiner [mm]\varepsilon[/mm] sein, also
> [mm]\frac{1}{n}\overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
>
> Daraus konstruiert man das gesuchte [mm]N[/mm], indem man nach [mm]n[/mm]
> auflöst ..
n > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
N muss dan mindestens so groß wie n sein oder, also die nächste natürliche zahl??
was müsste rauskommen, damit das nicht glm. konvergent wäre, oder was wäre ein beispiel (irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz)
danke!!!!!!!!!!! lg
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Hallo nochmal,
> das ist ja auch eine möglichkeit gleichmäßige KOnvergenz zu
> zeigen. Was bedeutet das dann???
>
>
> [mm]sup|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| = sup [mm]\bruch{n}{n² + x} \le[/mm] 1/x
>
> [mm] $\limsup\limits_{\red{n\to\infty}}|f_{n}(x)-f(x)|=0$ [/mm] -> gleichmäßige Konvergenz ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> muss hier immer 0 rauskommen damit gleichmäßig
> konvergent????
Ja, der limsup ist der größte Häufungswert der betraglichen Differenz von Funktionenfolge und Grenzfunktion, der muss 0 sein
>
>
>
>
>
>
> > Und das soll kleiner [mm]\varepsilon[/mm] sein, also
> > [mm]\frac{1}{n}\overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
> >
> > Daraus konstruiert man das gesuchte [mm]N[/mm], indem man nach [mm]n[/mm]
> > auflöst ..
>
>
> n > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
>
> N muss dan mindestens so groß wie n sein oder, also die
> nächste natürliche zahl??
[mm] $\frac{1}{n}<\varepsilon$ [/mm] galt es nach n aufzulösen ...
[mm] $\gdw n>\frac{1}{\varepsilon}$
[/mm]
Wähle also $N$ etwa als nächstgrößere natürliche zu [mm] $\frac{1}{\varepsilon}$, [/mm] genau etwa [mm] $N:=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$, [/mm] wobei [] die Gaußklammer ist.
Die ganze Abschätzung ist fürs Schmierblatt, mit dem so gefundenen $N$ kannst du nun für den Beweis der glm. Konvergenz schreiben:
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig, wähle [mm] $N:=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ und alle [mm] $x\in\IR$: $|f_n(x)-f(x)|=....\le [/mm] ... [mm] <\varepsilon$
[/mm]
Und in die Lücken schreibst du die Abschätzungen.
Das läuft wie bei der Folgenkonvergenz.
>
> was müsste rauskommen, damit das nicht glm. konvergent
> wäre, oder was wäre ein beispiel (irgendwie verstehe ich
> das noch nicht ganz)
Naja, dann ist formal die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] nicht erfüllt.
Wenn die Grenzfunktion zB. nicht für alle [mm] $x\in\mathbb{D}$ [/mm] dieselbe ist, ist die Funktion nicht glm. konvergent.
Schaue dir mal dieses Bsp. an: [mm] $f_n:[0,1]\to\IR, x\mapsto x^n$
[/mm]
Wie sieht's hier mit der (den?) Grenzfunktion(en?) und mit der glm. Konvergenz aus?
>
>
>
> danke!!!!!!!!!!! lg
>
LG
schachuzipus
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okay bei dem [mm] x^{n} [/mm] Beispiel
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \\ 1, & \mbox{x = 1} \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Das ist die Grenzfunktion und, dann ist es nicht gleichmäßig konvergent, weil dei Grenzfunktion nicht stetig ist.
oder???
gibt es auch ein Beispiel wo die Grenzfunktion stetig ist, und es nicht gleichmäßig konvergiert?????
vielen dank!
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 11.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mo 11.05.2009 | | Autor: | csak1162 |
Stimmt das mit dem [mm] x^{n} [/mm] Beispiel???
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> Stimmt das mit dem [mm]x^{n}[/mm] Beispiel???
Hallo,
daß die Funktionenfolge nicht glm konvergiert? Ja, das stimmt.
Gruß v. Angela
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