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| Aufgabe | Untersuchen Sie Funktionenfolge: [mm] (f_{n})_{1}^{\infty} [/mm] mit [mm] f_{n}(x)=\bruch{x^{n}}{1+x^{n}} [/mm] auf Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz auf folgenden Intervallen.
a) [0,1)
b) [0,q) 0 < q < 1
c) [mm] [0,\infty)
[/mm]
d) [mm] [q,\infty) [/mm] q>1 |
Hallo,
ich habe mal so angefangen:
[mm] f_{n}(x)=\bruch{x^{n}}{1+x^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}
[/mm]
und jetzt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1} [/mm] = 0 für x<1, 1/2 für x=1 und 1 für x>1
punktweise auf [mm] [0,\infty)
[/mm]
hoffe soweit stimmt das ?
und jetzt zu a)
supremumsnorm: [mm] \parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1} [/mm] - [mm] 0\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1} [/mm] = 0
=> gleichmäßig konvergent
und jetzt zu b)
0<q<1 Intervall [0,q)
ist das nicht genau das selbe?
warum sollte die funktionenfolge auf einem kleineren intervall als bei a plötzlich nichtmehr gleichmäßig konvergieren ?
zur c)
könnte man da nicht sagen, das die gleichmäßige Konvergenz nicht gilt, da die Grenzfunktion auf dem Intervall [mm] [0,\infty) [/mm] nicht stetig ist?
besten dank.
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Hallo :)
> Untersuchen Sie Funktionenfolge: [mm](f_{n})_{1}^{\infty}[/mm] mit
> [mm]f_{n}(x)=\bruch{x^{n}}{1+x^{n}}[/mm] auf Konvergenz und
> gleichmäßige Konvergenz auf folgenden Intervallen.
>
> a) [0,1)
> b) [0,q) 0 < q < 1
> c) [mm][0,\infty)[/mm]
> d) [mm][q,\infty)[/mm] q>1
>
>
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>
>
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> Hallo,
>
> ich habe mal so angefangen:
>
> [mm]f_{n}(x)=\bruch{x^{n}}{1+x^{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm]
> und jetzt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm]
> = 0 für x<1, 1/2 für x=1 und 1 für x>1
> punktweise auf [mm][0,\infty)[/mm]
>
> hoffe soweit stimmt das ?
schön, für 0 muss man nur argumentieren, indem man in das Urspüngliche einsetzt :)
> und jetzt zu a)
> supremumsnorm: [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm] -
> [mm]0\parallel[/mm]
> = [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm] =
> 0
> => gleichmäßig konvergent
Leider nicht.
Auf dem Intervall $[0,1)$ stimmt schon
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}=0[/mm], aber man untersucht
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
So, was ist jetzt [mm] $\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|$ [/mm] ? :]
Hinweis: Was ist [mm]\limes_{x\rightarrow 1_{-}}\bruch{x^n}{1+x^n}\right[/mm]?
> und jetzt zu b)
> 0<q<1 Intervall [0,q)
> ist das nicht genau das selbe?
> warum sollte die funktionenfolge auf einem kleineren
> intervall als bei a plötzlich nichtmehr gleichmäßig
> konvergieren ?
Hier konvergiert es tatsächlich gleichmäßig, weil $q$ genug weit von der $1$ ist :]
Das war wohl der Sinn der Aufgabe.
>
>
>
> zur c)
> könnte man da nicht sagen, das die gleichmäßige
> Konvergenz nicht gilt, da die Grenzfunktion auf dem
> Intervall [mm][0,\infty)[/mm] nicht stetig ist?
>
> besten dank.
Schön, und was ist mit d) ? :]
Gruss Strangelet
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> > und jetzt zu a)
> > supremumsnorm: [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm]
> -
> > [mm]0\parallel[/mm]
> > = [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel[/mm]
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm] =
> > 0
> > => gleichmäßig konvergent
>
> Leider nicht.
>
> Auf dem Intervall [mm][0,1)[/mm] stimmt schon
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}=0[/mm], aber man
> untersucht
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
>
> So, was ist jetzt [mm]\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
> ? :]
> Hinweis: Was ist [mm]\limes_{x\rightarrow 1_{-}}\bruch{x^n}{1+x^n}\right[/mm]?
n geht doch gegen unendlich oder nicht ?
und wenn x gegen 1- geht ist dann der gesamte Grenzwert 1/2 ?
=> nicht glm konvergent ?
>
>
>
> > und jetzt zu b)
> > 0<q<1 Intervall [0,q)
> > ist das nicht genau das selbe?
> > warum sollte die funktionenfolge auf einem kleineren
> > intervall als bei a plötzlich nichtmehr gleichmäßig
> > konvergieren ?
>
> Hier konvergiert es tatsächlich gleichmäßig, weil [mm]q[/mm]
> genug weit von der [mm]1[/mm] ist :]
> Das war wohl der Sinn der Aufgabe.
also steht dann da
[mm] \parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel [/mm] auf dem Intervall [0,q)
und das ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+q^{n}} [/mm] ?
und dann ? das wäre ja nicht 0. also ist irgendwo ein fehler :D
>
> >
> >
> >
> > zur c)
> > könnte man da nicht sagen, das die gleichmäßige
> > Konvergenz nicht gilt, da die Grenzfunktion auf dem
> > Intervall [mm][0,\infty)[/mm] nicht stetig ist?
> >
> > besten dank.
>
> Schön, und was ist mit d) ? :]
das deute ich mal so das die c stimmt?
>
> Gruss Strangelet
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Antwort mit Fragen schon nach 12 Minuten? :] Hast du dir das alles ordentlich angeschaut? Die Definionen und die Sätze zu glm. Konvergenz?
> >
> > > und jetzt zu a)
> > > supremumsnorm: [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm]
> > -
> > > [mm]0\parallel[/mm]
> > > = [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel[/mm]
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm] =
> > > 0
> > > => gleichmäßig konvergent
> >
> > Leider nicht.
> >
> > Auf dem Intervall [mm][0,1)[/mm] stimmt schon
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}=0[/mm], aber
> man
> > untersucht
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
>
> >
> > So, was ist jetzt [mm]\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
> > ? :]
> > Hinweis: Was ist [mm]\limes_{x\rightarrow 1_{-}}\bruch{x^n}{1+x^n}\right[/mm]?
>
> n geht doch gegen unendlich oder nicht ?
In [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm] natürlich ja, aber man muss ja wissen, welchen Ausdruck man für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] schickt. Hier ist es der Ausdruck
[mm] $\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|$
[/mm]
> und wenn x gegen 1- geht ist dann der gesamte Grenzwert 1/2
> ?
Ja, [mm]\limes_{x\rightarrow 1_{-}}\bruch{x^n}{1+x^n}\right=\bruch{1}{2}[/mm] und man kann hiermit argumentieren, dass dann
[mm] $\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|=\bruch{1}{2}$
[/mm]
> => nicht glm konvergent ?
Was ist [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}$ [/mm] ?
Folge von Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] konvergiert gleichmäßig zu der Funktion $f$ auf der Menge M wenn
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in M}\left|f_n(x)-f(x)\right|=0[/mm]
>
> >
> >
> >
> > > und jetzt zu b)
> > > 0<q<1 Intervall [0,q)
> > > ist das nicht genau das selbe?
> > > warum sollte die funktionenfolge auf einem kleineren
> > > intervall als bei a plötzlich nichtmehr gleichmäßig
> > > konvergieren ?
> >
> > Hier konvergiert es tatsächlich gleichmäßig, weil [mm]q[/mm]
> > genug weit von der [mm]1[/mm] ist :]
> > Das war wohl der Sinn der Aufgabe.
>
> also steht dann da
> [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel[/mm] auf dem
> Intervall [0,q)
> und das ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+q^{n}}[/mm]
> ?
Was ist [mm] $\sup_{x \in [0,q)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|$ [/mm] ?
Ist es nicht eher [mm] $\bruch{q^n}{1+q^n}$ [/mm] ?
> und dann ? das wäre ja nicht 0. also ist irgendwo ein
> fehler :D
>
> >
> > >
> > >
> > >
> > > zur c)
> > > könnte man da nicht sagen, das die gleichmäßige
> > > Konvergenz nicht gilt, da die Grenzfunktion auf dem
> > > Intervall [mm][0,\infty)[/mm] nicht stetig ist?
> > >
> > > besten dank.
> >
> > Schön, und was ist mit d) ? :]
>
> das deute ich mal so das die c stimmt?
>
Gleichmäßiger Limes von stetigen Funktionen muss auch eine stetige Funktion sein, also ja.
> >
> > Gruss Strangelet
>
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> > >
> > > > und jetzt zu a)
> > > > supremumsnorm: [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm]
> > > -
> > > > [mm]0\parallel[/mm]
> > > > = [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel[/mm]
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}[/mm] =
> > > > 0
> > > > => gleichmäßig konvergent
> > >
> > > Leider nicht.
> > >
> > > Auf dem Intervall [mm][0,1)[/mm] stimmt schon
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}=0[/mm],
> aber
> > man
> > > untersucht
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
>
> >
> > >
> > > So, was ist jetzt [mm]\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
> > > ? :]
> > > Hinweis: Was ist [mm]\limes_{x\rightarrow 1_{-}}\bruch{x^n}{1+x^n}\right[/mm]?
>
> >
> > n geht doch gegen unendlich oder nicht ?
>
> In [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
> natürlich ja, aber man muss ja wissen, welchen Ausdruck
> man für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] schickt. Hier ist es der
> Ausdruck
> [mm]\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
>
> > und wenn x gegen 1- geht ist dann der gesamte Grenzwert 1/2
> > ?
>
> Ja, [mm]\limes_{x\rightarrow 1_{-}}\bruch{x^n}{1+x^n}\right=\bruch{1}{2}[/mm]
> und man kann hiermit argumentieren, dass dann
> [mm]\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> > => nicht glm konvergent ?
>
> Was ist [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}[/mm] ?
das bleibt ja [mm] \bruch{1}{2} \not= [/mm] 0 also nicht glm konvergent ?
>
> Folge von Funktionen [mm]f_n[/mm] konvergiert gleichmäßig zu der
> Funktion [mm]f[/mm] auf der Menge M wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in M}\left|f_n(x)-f(x)\right|=0[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > >
> > > > und jetzt zu b)
> > > > 0<q<1 Intervall [0,q)
> > > > ist das nicht genau das selbe?
> > > > warum sollte die funktionenfolge auf einem
> kleineren
> > > > intervall als bei a plötzlich nichtmehr gleichmäßig
> > > > konvergieren ?
> > >
> > > Hier konvergiert es tatsächlich gleichmäßig, weil [mm]q[/mm]
> > > genug weit von der [mm]1[/mm] ist :]
> > > Das war wohl der Sinn der Aufgabe.
> >
> > also steht dann da
> > [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel[/mm] auf dem
> > Intervall [0,q)
> > und das ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+q^{n}}[/mm]
> > ?
>
> Was ist [mm]\sup_{x \in [0,q)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
> ?
> Ist es nicht eher [mm]\bruch{q^n}{1+q^n}[/mm] ?
(ich habe einmal duch [mm] q^{n} [/mm] gekürzt.
entschuldige ich meinte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{q^{n}}} [/mm] und für n gegen [mm] \infty [/mm] geht [mm] \bruch{1}{q^{n}} [/mm]
gegen 0 und der gesamte Bruch somit gegen 1 :( ?
>
>
>
> > und dann ? das wäre ja nicht 0. also ist irgendwo ein
> > fehler :D
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > zur c)
> > > > könnte man da nicht sagen, das die
> gleichmäßige
> > > > Konvergenz nicht gilt, da die Grenzfunktion auf dem
> > > > Intervall [mm][0,\infty)[/mm] nicht stetig ist?
> > > >
> > > > besten dank.
> > >
> > > Schön, und was ist mit d) ? :]
> >
> > das deute ich mal so das die c stimmt?
> >
>
> Gleichmäßiger Limes von stetigen Funktionen muss auch
> eine stetige Funktion sein, also ja.
>
um die d) werde ich mich erst kümmern wenn ich das vorher verstanden habe :((
> > >
> > > Gruss Strangelet
VIELEN DANK !
> >
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> > Ja, [mm]\limes_{x\rightarrow 1_{-}}\bruch{x^n}{1+x^n}\right=\bruch{1}{2}[/mm]
> > und man kann hiermit argumentieren, dass dann
> > [mm]\sup_{x \in [0,1)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > > => nicht glm konvergent ?
> >
> > Was ist [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}[/mm] ?
>
> das bleibt ja [mm]\bruch{1}{2} \not=[/mm] 0 also nicht glm
> konvergent ?
genau
> >
> > Folge von Funktionen [mm]f_n[/mm] konvergiert gleichmäßig zu der
> > Funktion [mm]f[/mm] auf der Menge M wenn
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in M}\left|f_n(x)-f(x)\right|=0[/mm]
>
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> > > > > und jetzt zu b)
> > > > > 0<q<1 Intervall [0,q)
> > > > > ist das nicht genau das selbe?
> > > > > warum sollte die funktionenfolge auf einem
> > kleineren
> > > > > intervall als bei a plötzlich nichtmehr gleichmäßig
> > > > > konvergieren ?
> > > >
> > > > Hier konvergiert es tatsächlich gleichmäßig, weil [mm]q[/mm]
> > > > genug weit von der [mm]1[/mm] ist :]
> > > > Das war wohl der Sinn der Aufgabe.
> > >
> > > also steht dann da
> > > [mm]\parallel \bruch{1}{\bruch{1}{x^{n}}+1}\parallel[/mm] auf dem
> > > Intervall [0,q)
> > > und das ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+q^{n}}[/mm]
> > > ?
> >
> > Was ist [mm]\sup_{x \in [0,q)}\left|\bruch{x^n}{1+x^n}\right|[/mm]
> > ?
> > Ist es nicht eher [mm]\bruch{q^n}{1+q^n}[/mm] ?
>
> (ich habe einmal duch [mm]q^{n}[/mm] gekürzt.
> entschuldige ich meinte [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{q^{n}}}[/mm]
> und für n gegen [mm]\infty[/mm] geht [mm]\bruch{1}{q^{n}}[/mm]
> gegen 0 und der gesamte Bruch somit gegen 1 :( ?
kein Problem :)
Für $0 [mm] \leq [/mm] q < 1$ ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} q^{n}=0[/mm] und
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{q^{n}}=\infty[/mm]
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> > > und dann ? das wäre ja nicht 0. also ist irgendwo ein
> > > fehler :D
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > zur c)
> > > > > könnte man da nicht sagen, das die
> > gleichmäßige
> > > > > Konvergenz nicht gilt, da die Grenzfunktion auf dem
> > > > > Intervall [mm][0,\infty)[/mm] nicht stetig ist?
> > > > >
> > > > > besten dank.
> > > >
> > > > Schön, und was ist mit d) ? :]
> > >
> > > das deute ich mal so das die c stimmt?
> > >
> >
> > Gleichmäßiger Limes von stetigen Funktionen muss auch
> > eine stetige Funktion sein, also ja.
> >
>
> um die d) werde ich mich erst kümmern wenn ich das vorher
> verstanden habe :((
>
> > > >
> > > > Gruss Strangelet
> VIELEN DANK !
gerne
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so nun habe ich mal nach der d) geschaut.
sup [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| = sup [mm] |\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^{n}}} [/mm] - [mm] \bruch{1+\bruch{1}{x^n}}{1+\bruch{1}{x^n}}|
[/mm]
= sup [mm] |-\bruch{1}{x^{n}+1}
[/mm]
das supremum wird bei x=q angenommen
=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{q^{n}+1}
[/mm]
=> (da q > 1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{q^{n}+1} [/mm] = 0
=> gleichmäßig konvergent
stimmt das so?
wenn ja habe ich noch eine letzte Frage,
warum funktioniert das ganze zb bei b) aber bei a) nicht,
bei a) gehört die 1 nicht zum Intervall und bei b) auch nicht,
trotzdem gibt es einen Unterschied ?
BESTEN DANK !
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> so nun habe ich mal nach der d) geschaut.
>
> sup [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| = sup [mm]|\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^{n}}}[/mm]
> - [mm]\bruch{1+\bruch{1}{x^n}}{1+\bruch{1}{x^n}}|[/mm]
> = sup [mm]|-\bruch{1}{x^{n}+1}[/mm]
>
> das supremum wird bei x=q angenommen
>
> => [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{q^{n}+1}[/mm]
> => (da q
> > 1) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{q^{n}+1}[/mm] = 0
> => gleichmäßig konvergent
>
> stimmt das so?
Ja, das sieht gut aus :) richtig
>
>
> wenn ja habe ich noch eine letzte Frage,
> warum funktioniert das ganze zb bei b) aber bei a) nicht,
> bei a) gehört die 1 nicht zum Intervall und bei b) auch
> nicht,
> trotzdem gibt es einen Unterschied ?
Der Unterschied besteht darin, dass bei b) eine ganze linke Umgebung ([q,1]) von 1 nicht in den Intervall gehört. Man sagt auch, das q ist von der 1 abgeprallt (ich hoffe zumindest, dass man es so ungefähr auf Deutsch sagt :))
Bei a) gehört die 1 nicht dazu, aber du kannst sich der 1 beliebig annähern und darin besteht das Problem.
Glm Konvergenz auf [0,1) sagt, dass du zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] findest, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1)$ [mm] $|f_n(x)| \leq \varepsilon [/mm] $ ist. Für alle [mm] $f_n$ [/mm] gilt aber [mm] $f_n(1)=\bruch{1}{2}$ [/mm] und wegen der Stetigkeit von [mm] $f_n$ [/mm] wird oben aufgeschrieben Bedingung nicht gelingen. Du findest immer eine linke Umgebung von 1, dass für alle $x$ aus dieser Umgebung [mm] $f_n(x)$ [/mm] nah an [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein wird. (und gleichzeitig kann für diese $x$ nicht [mm] $f_n(x)$ [/mm] kleiner als beliebige [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] sein).
Ich hoffe, dass es verständlich ist. Am besten zeichne dir eine Skizze und gucke, was die glm Konvergenz auf $[0,1)$ verlangt und wie die Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] aussehen.
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> BESTEN DANK !
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vielen dank,
dann geh ich mal malen ;)
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