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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 17.01.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die angegebenen Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz und skizzieren Sie die Funktionsgraphen von [mm] $f_1, f_2, f_3$: [/mm]
a) [mm] $f_n\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f_n(x)=\begin{cases}1-n|x| & \text{ falls } |x|\leqslant \frac{1}{n} \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases}$
[/mm]
b) [mm] $g_n\colon [/mm] [0, [mm] \infty]\to \mathbb{R}, \qquad g_n(x)=\frac{1}{x+n}$ [/mm] |
Hallo,
ich habe irgendwie ein paar Probleme mit der Aufgabe. Ich weiß nicht, ob es daran liegt, dass es schon wieder etwas her ist, dass ich mich mit Folgen und deren Grenzwerten beschäftigt habe, oder ob ich im Moment einfach nur zu dämlich bin, aber ich wäre dankbar, wenn ihr euch meine Lösungen mal angucken könntet und mich (ggf.) berichtigen könntet.
a) [mm] $f_n$ [/mm] ist punktweise konvergent gegen [mm] $f(x)=\begin{cases}1 & \text{ für } x=0 \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases}$. [/mm]
Für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] gilt nämlich [mm] $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\begin{cases}1 & \text{ für } x=0 \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases}$, [/mm] da [mm] $f_n(x)=1-n|x|$ [/mm] für [mm] $x\in\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]$ [/mm] gilt, und für [mm] $n\to\infty$ [/mm] daraus folgt, dass [mm] $f_n(x)=1-n|x|=0$ [/mm] nur für $x=0$ gilt.
(Ganz komische "Argumentation", aber ich weiß gerade nicht, wie ichs besser machen kann.) Ich würde das Ganze auch am liebsten direkt mit der Definition für punktweise Konvergenz machen, also mit:
Eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)\in\mathcal{F}(M,\mathbb{C})$ [/mm] konvergiert punktweise gegen [mm] $f\in\mathcal{F}(M,\mathbb{C})$, [/mm] falls: [mm] $\forall x\in M\,\forall \varepsilon>0\,\exists n_0\in\mathbb{N}\,\forall n\geqslant n_0:\left\lvert f_n(x)-f(x)\right\rvert <\varepsilon$
[/mm]
aber ich bekomme das gerade überhaupt nicht gebacken. Weiter als [mm] $\left\lvert f_n(x)-f(x)\right\rvert=\left\lvert f_n(x)-0\right\rvert=\left\lvert f_n(x)\right\rvert=\left\lvert 1-n\cdot x\right\rvert=1-n\cdot [/mm] x$ für [mm] $0\leqslant x\leqslant \frac{1}{n}$ [/mm] (nur für positive x wegen der Symmetrie zur y-Achse) bin ich noch nicht gekommen (also kein [mm] $n_0$), [/mm] und das ist ja alles andere als weit...
Zur gleichmäßigen Konvergenz: Da [mm] $f_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] stetig ist, $f$ aber in $x=0$ unstetig ist, konvergiert [mm] $f_n$ [/mm] nicht gleichmäßig. Die Stetigkeit von [mm] $f_n$ [/mm] habe ich mir dann nur für [mm] $x=\frac{1}{n}$ [/mm] angeguckt, wobei ja da [mm] $\textstyle \lim_{x\uparrow \frac{1}{n}} f_n(x)=0=f_n(0)$ [/mm] gilt. Sonst ist [mm] $f_n$ [/mm] ja sowieso stetig (entweder konstant oder eine Gerade).
b) Hier hat mich zuallererst das [mm] $g_n\colon [/mm] [0, [mm] \infty]\to \mathbb{R}$ [/mm] verwirrt. Kann es ein geschlossenes Intervall von 0 bis [mm] $\infty$ [/mm] geben? Nein, oder?
Meiner Meinung nach konvergiert [mm] $g_n$ [/mm] nun gleichmäßig, da:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \left(\sup_{x\in[0,\infty)}\left\lvert g_n(x)-g(x) \right\rvert\right)=\lim_{n\to\infty} \left(\sup_{x\in[0,\infty)}\left\lvert g_n(x)-0 \right\rvert\right)=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0$ [/mm] gilt. (Größer als für $x=0$ wird [mm] $g_n$ [/mm] doch nicht, oder habe ich da die Notation nicht verstanden?)
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die angegebenen Funktionenfolgen auf
> punktweise und gleichmäßige Konvergenz und skizzieren Sie
> die Funktionsgraphen von [mm]f_1, f_2, f_3[/mm]:
>
> a) [mm]f_n\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f_n(x)=\begin{cases}1-n|x| & \text{ falls } |x|\leqslant \frac{1}{n} \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases}[/mm]
>
> b) [mm]g_n\colon [0, \infty]\to \mathbb{R}, \qquad g_n(x)=\frac{1}{x+n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe irgendwie ein paar Probleme mit der Aufgabe. Ich
> weiß nicht, ob es daran liegt, dass es schon wieder etwas
> her ist, dass ich mich mit Folgen und deren Grenzwerten
> beschäftigt habe, oder ob ich im Moment einfach nur zu
> dämlich bin, aber ich wäre dankbar, wenn ihr euch meine
> Lösungen mal angucken könntet und mich (ggf.) berichtigen
> könntet.
>
> a) [mm]f_n[/mm] ist punktweise konvergent gegen [mm]f(x)=\begin{cases}1 & \text{ für } x=0 \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases}[/mm].
>
> Für alle [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] gilt nämlich [mm]\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\begin{cases}1 & \text{ für } x=0 \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases}[/mm],
> da [mm]f_n(x)=1-n|x|[/mm] für
> [mm]x\in\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right][/mm] gilt, und für
> [mm]n\to\infty[/mm] daraus folgt, dass [mm]f_n(x)=1-n|x|=0[/mm] nur für [mm]x=0[/mm]
> gilt.
>
> (Ganz komische "Argumentation",
Da stimme ich Dir zu !
> aber ich weiß gerade
> nicht, wie ichs besser machen kann.) Ich würde das Ganze
> auch am liebsten direkt mit der Definition für punktweise
> Konvergenz machen, also mit:
>
> Eine Funktionenfolge [mm](f_n)\in\mathcal{F}(M,\mathbb{C})[/mm]
> konvergiert punktweise gegen [mm]f\in\mathcal{F}(M,\mathbb{C})[/mm],
> falls: [mm]\forall x\in M\,\forall \varepsilon>0\,\exists n_0\in\mathbb{N}\,\forall n\geqslant n_0:\left\lvert f_n(x)-f(x)\right\rvert <\varepsilon[/mm]
>
> aber ich bekomme das gerade überhaupt nicht gebacken.
> Weiter als [mm]\left\lvert f_n(x)-f(x)\right\rvert=\left\lvert f_n(x)-0\right\rvert=\left\lvert f_n(x)\right\rvert=\left\lvert 1-n\cdot x\right\rvert=1-n\cdot x[/mm]
> für [mm]0\leqslant x\leqslant \frac{1}{n}[/mm] (nur für positive x
> wegen der Symmetrie zur y-Achse) bin ich noch nicht
> gekommen (also kein [mm]n_0[/mm]), und das ist ja alles andere als
> weit...
Mach es so:
Sei x [mm] \in \IR.
[/mm]
Fall 1: x= 0. Dann [mm] f_n(0)=1 \to [/mm] 1 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Fall 2: x [mm] \ne [/mm] 0. Dann gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: 1/N <|x|. Damit ist 1/n <|x| für alle n>N, also ist
[mm] f_n(x)=0 [/mm] für alle n>N.
Somit: [mm] f_n(x) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
>
> Zur gleichmäßigen Konvergenz: Da [mm]f_n[/mm] für alle
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] stetig ist, [mm]f[/mm] aber in [mm]x=0[/mm] unstetig ist,
> konvergiert [mm]f_n[/mm] nicht gleichmäßig. Die Stetigkeit von [mm]f_n[/mm]
> habe ich mir dann nur für [mm]x=\frac{1}{n}[/mm] angeguckt, wobei
> ja da [mm]\textstyle \lim_{x\uparrow \frac{1}{n}} f_n(x)=0=f_n(0)[/mm]
> gilt. Sonst ist [mm]f_n[/mm] ja sowieso stetig (entweder konstant
> oder eine Gerade).
Das ist O.K.
>
> b) Hier hat mich zuallererst das [mm]g_n\colon [0, \infty]\to \mathbb{R}[/mm]
> verwirrt. Kann es ein geschlossenes Intervall von 0 bis
> [mm]\infty[/mm] geben? Nein, oder?
Das wird ein Tippfehler sein. Gemeint ist $[0, [mm] \infty)$
[/mm]
>
> Meiner Meinung nach konvergiert [mm]g_n[/mm] nun gleichmäßig, da:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \left(\sup_{x\in[0,\infty)}\left\lvert g_n(x)-g(x) \right\rvert\right)=\lim_{n\to\infty} \left(\sup_{x\in[0,\infty)}\left\lvert g_n(x)-0 \right\rvert\right)=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0[/mm]
> gilt. (Größer als für [mm]x=0[/mm] wird [mm]g_n[/mm] doch nicht, oder habe
> ich da die Notation nicht verstanden?)
Doch, Du hast alles richtig verstanden, es ist
[mm] $|g_n(x)|=g_n(x) \le [/mm] 1/n$ für jedes x [mm] \ge [/mm] 0 und jedes n.
FRED
>
> Ist das richtig so?
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