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| Aufgabe | Die [mm] f_{n} [/mm] und f seien von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] wir setzen voraus, dass die [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig gegen f konvergieren. Welche der folgenden Aussagen sind richtig (Beweis!), welche falsch (Gegenbeispiel!)?
a) Sind alle [mm] f_{n} [/mm] stetig bei 40, so auch f.
b) Sind alle [mm] f_{n} [/mm] beschränkt, so auch f.
c) Gilt [mm] lim(k\to\infty)f_{n}(1/k) [/mm] = 0 für alle n, so ist auch [mm] lim(k\to\infty) [/mm] f(1/k) = 0.
d) Gibt es für jedes n ein k, so dass [mm] f_{n} [/mm] bei k stetig ist, so gibt es auch ein k, so dass f bei k stetig ist. |
Hallochen,
und jetzt noch ne Aufgabe zur glm Stetigkeit! Also hier meine Versuche:
a) Stimmt! Dazu hatten wir nen Satz in der Vl.
b) Da dies bei pktweiser Konvergenz nicht gilt, wird es hier wohl gelten, aber warum?
c) und d) Hier brauche ich eure Hilfe bitte. Ich habe keine Ahnung! Würde aber sagen, dass beide Aussagen falsch sind.
Bitte um eure Hilfe, Grüße
Daniel
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Hiho,
deine Vermutungen sind alle richtig.
Der Beweis zu b) ist ziemlich lang (zumindest, wenn meine Erinnerung mich net täuscht), kann mir daher nicht vorstellen, daß ihr das als HA beweisen müsst :/
Zu c) [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{nx}{nx+1} [/mm] wäre ein Gegenbeispiel. Warum musst du noch zeigen 
zu d) Naja, hier sei als allgemeines Gegenbeispiel die Funktionenfolge gewählt, für die gilt:
[mm] f_n(x) =\begin{cases} stetig & x = n \\ unstetig, & sonst \end{cases}
[/mm]
Wie du dir so eine Funktion konstruierst, oder ob das als Gegenbeispiel ausreicht, liegt an deinem Prof.
MfG,
Gono.
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Hallo,
danke ich seh mir deine Vorschläge an und versuch, was draus zu machen!
Schöne Grüße
Daniel
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