Funktionenmengen+Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo.Hätte zu dieser Aufgabe eine Frage.
Also: welche der folgenden Funktionenemngen sind mit der punktweisen Addition Vektorräume.
Unter punktweise verstehe ich,dass von zwei Funktionen zwei Funktionswerte addiert werden,oder??
M={f:R---->R| f(0)=0} wörtl. M ist die Menge aller Funktionen,mit der Eigenschaft,dass sie bei x=0 eine Nullstelle haben,oder??
1.Bedingung: (M,+)...abelsche Gruppe?? Wie beginnr ich bei den ganzen bedinguingen.Ich habe ja kein x und y von M bez. keine funktionen,oder kann ich mit selber welche erstellen??
Danke für eure Hilfe.Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 So 07.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi Daniel
dein $x$ und $y$ heißen hier $f$ und $g$. die elemte des vektorraums sind zum beispiel funktionen $f(x) = x$ und $g(x) = [mm] \sin [/mm] x$. um jetzt $f+g$ zu berechnen musst du nur die beiden funktionen addieren, da die summe im vektorraum die punktweise summe von funktioen ist, also ist $(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x + [mm] \sin [/mm] x$. das interessanteste an solchen gruppenprüfungen, ist, ob die addition aus dem vektorraum herausführt (betrachte z.b. die menge $M := [mm] \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: f(0) = 1 \}$ [/mm] und untersuche, ob die summe wie oben wieder ein elemnt dieser menge liefert). das nachrechen der weiteren eigenschaften ist nicht schwierig, macht nur etwas arbeit. die meisten eigenschaften folgen aber direkt aus den entsprechenden eigenschaften in [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
probiere mal dein glück.
grüße
andreas
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Hy Andreas.Danke für deine Antwort.
Also das habe ich gewusst und verstanden.Mein problem ist nur,dass deine erwähnte Bedingung,also dass:
(f+g)(x) [mm] \in [/mm] M
Das wäre ja eine Bedingung für einen Untervektorraum,oder?Ich möchte ja zeigen,dass es sich hierbei um einen Vektorraum handelt.Das irritiert mich ein bisschen.veileicht verstehe ich ja was falsch.
Wenn ich einen Vektorraum nachweisen muss,muss ich zum Beispiel überprüfen ob (M,+) eine abelsche Gruppe ist.
=> a.) kommutativ: f+g=g+f <=> f(x)+g(x)=g(x)+f(x) okay das stimmt in R!!
usw. aber was hat das mit f(0)=0 zu tun.Wenn es sich um einen Untervektorraum handelt,dann wäre mir alles klar.
MFG Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 07.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi Daniel
im prinzip handelt es sich auch um einen untervektorraum des vektorraums aller funktionen von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] im allgemeinen muss man sich auch immer überlegen, dass die addition in einer gruppe wohldefiniert ist, d.h. dass auch immer gilt $+: M [mm] \times [/mm] M [mm] \longrightarrow [/mm] M$ und nicht zufällig in eine andere menge abgebildet wird!
grüße
andreas
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Hallo!!Habe nochmal eine kurze Frage.Andreas hat mir schon alles gut erläutert.
Die Aufgabe war: Ist diese Menge mit der punktweise Addition ein Vektorraum?
M={f:R--->R| f(0)=0}
Idee: Definition der Addition: +: M x M -----> M
(f,g) ------> f(x)+g(x)
So müsste diese Addition definiert sein.Soll ich nun zeigen,dass M ein Vektorraum über K ist,wobei K= {f:R---->R| f = Funktion}!!!
Oder soll ich einfach zeigen ,dass M eine abelsche Gruppe ist und diese Addition gültig ist.Also dass ich die Menge M durch die Addition nicht verlasse???
MFG Daniel
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K, so wie Du es definiert hast, ist mit Sicherheit kein Körper. Somit kannst du via K deine abelsche Gruppe M nicht zu einem Vektorraum machen.
Aber zum Beispiel ist M auf kanonische Weise ein [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Das kannst du einfach nachrechnen.
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Hallo.Das ist mir zu schnell gegangen.den begriff kanonisch habe ich noch nie gehört!!
Ich soll ja nur nachweisen,dass M={f:R-->R| f(0)=0} mit der punktweisen addition ein Vektorraum ist.
Meine Frage ist ob es genügt wenn ich nachweise,dass die addition nicht aus M herausführt??
Also,dass: M x M ----> M
(f,g) ----> f(x)+g(x) wobei f(x) und g(x) die Eigenschaft haben: f(0)=0 und g(0)=0???
Reicht das??Denn wenn ich mehr beweisen soll,so muss ich ja einen Körper habe,was ich jedoch nicht gegeben hab!!
Grüße Daniel
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zunächst mal, wenn du gezeigt hast, daß M abgeschlossen ist, hast du dann ermittelt daß du eine abelsche Gruppe hast:
M ist eine abelsche Gruppe, denn mit
f,g M ist auch f+gM, denn (f+g)(0)=f(0)+g(0)=0
f+g = g +f
(f + g) + h = f + (g + h)
Das Nullelement dieser abelschen Gruppe ist die 0-Abbildung, d. h.
f0(x) = 0 für alle x [mm] \IR
[/mm]
Einen Vektorraum hast Du, falls Du einen Körper K findest und eine Multiplikation KxM-> M definierts mit folgenden Eigenschaften:
1*f=f für alle fM
k*(f+g)=k*f+k*g für alle kK und für alle f,gM
Eine Definition findest du z. B. auch hier:
http://www.mathepower.com/lexikon/Mathematik-Geometrie-Vektorraum.html
Nun, kanonisch bedeutet einfach soviel wie natürlich, was einem als erstes einfällt. Wählt man nun den Körper [mm] \IR, [/mm] so läßt sich eine kanonische Multiplikation definieren, die M zum Vektorraum macht:
*: [mm] \IR [/mm] x M -> M
(r,f) -> r*f, wobei r*f definiert ist durch (r*f)(x) = r*f(x) für alle [mm] x\IR
[/mm]
So, ich hoffe das war jetzt nicht zu abstrakt, falls Du noch Fragen hast, melde dich einfach nochmal
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