Funktionenreihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Mo 30.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass durch $f(x):= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{cos(n*x)}{n^{3}}$ [/mm] eine diffbare Funktion auf [mm] \IR [/mm] definiert wird. |
Hallo,
da wir in der VL Funktionenreihen noch nicht hatten, wäre ich für Hilfe bei dieser Aufgabe dankbar.
Was muss ich hier machen ??
Wie zeigt man, dass eine Fktreihe diffbar ist ???
Danke schon mal.
|
|
| |
|
Hallo,
es gibt vielleicht Saetze und Resultate, die einem hier das Leben leichter machen,
leider habe ich solche nicht parat. Aber man kann es ja auch zu Fuß probieren:
Koennen wir nicht ausnutzen, dass die Folgenglieder [mm] \frac{\cos (nx)}{n}
[/mm]
konvergieren ? Intuitiv sollte ja [mm] f'(x)=\sum_{n}f_n'(x)
[/mm]
mit [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{\cos (nx)}{n}
[/mm]
sein, und man koennt versuchen, das direkt via Definition der Abl. als Grenzwert des Differenzenquotienten, unter Zuhilfenahme der Nullkonvergenz der Folge [mm] f_n
[/mm]
und der Abl.-Eigenschaften von f'_nj(x) nachzuweisen:
f'(x) [mm] =\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\frac{\lim_{n\to\infty}(\sum_{j=1}^nf_j(x+h))-\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^nf_j(n)}{h}
[/mm]
usw.
Hilft das weiter ?
Gruss,
Mathias
|
|
|
|
