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Funktionenreihe über Log: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:01 Mi 04.02.2009
Autor: MacMath

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Ich habe mit der Aufgabe gerade erst angefangen und überlege noch, vielleicht komme ich drauf. Was mich nur verwirrt ist der Zusatz:

Die Reihe divergiert doch schon für z=e - wozu dann die Frage nach der offenen Umgebung von e? Die Funktion kann doch auf keiner Menge die e einschließt holomorph sein?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Funktionenreihe über Log: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mi 04.02.2009
Autor: felixf

Hallo,

was ist [mm] $\IC_{-}$? [/mm]

> Die Reihe divergiert doch schon für z=e - wozu dann die
> Frage nach der offenen Umgebung von e? Die Funktion kann
> doch auf keiner Menge die e einschließt holomorph sein?

Na, nur weil die Reihe divergiert heisst das noch nichts. Die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty x^n$ [/mm] divergiert auch fuer $x = 2$, obwohl die dadurch definierte holomorphe Funktion durch [mm] $\frac{1}{1 - x}$ [/mm]  auf ganz [mm] $\IC \setminus \{ 1 \}$ [/mm] fortgesetzt werden kann.

LG Felix




Bezug
                
Bezug
Funktionenreihe über Log: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Mi 04.02.2009
Autor: MacMath

[mm] \IC_- [/mm] := [mm] \IC [/mm] \ [mm] \{x\in \IR, x < 0\} [/mm] die Schlitzebene

Also abgesehen davon dass ich nicht weiß wie ich an die Aufgabe herangehen soll ist jetzt auch noch der Teil der so schön einfach aussah dahin :P

Ok, schrittchenweise.. Um das gesuchte zu zeigen muss ich die Funktionenfolge der Partialsummen betrachten und lokal gleichmäßige Konvergenz nachweisen nehm ich an.
(Satz von Weierstrass) wie mache ich das?

Bezug
                        
Bezug
Funktionenreihe über Log: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:45 Mi 04.02.2009
Autor: felixf

Hallo

> [mm]\IC_-[/mm] := [mm]\IC[/mm] \ [mm]\{x\in \IR, x < 0\}[/mm] die Schlitzebene
>  
> Also abgesehen davon dass ich nicht weiß wie ich an die
> Aufgabe herangehen soll ist jetzt auch noch der Teil der so
> schön einfach aussah dahin :P
>  
> Ok, schrittchenweise.. Um das gesuchte zu zeigen muss ich
> die Funktionenfolge der Partialsummen betrachten und lokal
> gleichmäßige Konvergenz nachweisen nehm ich an.
>  (Satz von Weierstrass) wie mache ich das?

Schau dir doch mal Polarkoordinaten an: $z = r [mm] e^{i t}$ [/mm] mit $t [mm] \in (-\pi, \pi)$ [/mm] und $r > e$ (da $|z| > e$).

Kannst du damit [mm] $|\log(z)|$ [/mm] unabhaengig von $t$ abschaetzen?

Und was kannst du damit ueber [mm] $\sum_{n=0}^\infty |\log(z)|^{-n}$ [/mm] aussagen?

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Funktionenreihe über Log: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:05 Fr 06.02.2009
Autor: felixf


> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Ich habe mit der Aufgabe gerade erst angefangen und
> überlege noch, vielleicht komme ich drauf. Was mich nur
> verwirrt ist der Zusatz:
>  
> Die Reihe divergiert doch schon für z=e - wozu dann die
> Frage nach der offenen Umgebung von e? Die Funktion kann
> doch auf keiner Menge die e einschließt holomorph sein?

Der zweite Teil der Frage ist dazu aequivalent, ob die Funktion $g : [mm] \{ z \mid |z| < 1 \} \to \IC$, [/mm] $z [mm] \mapsto \sum_{n=0}^\infty z^{n^2}$ [/mm] um den Punkt $z = 1$ herum holomorph fortsetzbar ist.

(Durch ausprobieren stellt man schnell fest: das geht vermutlich nicht, da [mm] $\lim_{t \to 1-} [/mm] g(t) = [mm] \infty$ [/mm] zu sein scheint.)

Vielleicht hilft dir das weiter...

LG Felix


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