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Funktionenreihen: zz. ist diffbare fkt.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 So 12.02.2006
Autor: DeusRa

Aufgabe
Zeigen Sie, dass durch die Funktionenreihe  [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{1+exp(nx²)}$ [/mm] eine differenzierbare Funktion auf [mm] $\IR$* [/mm] (Ohne Null) definiert wird.

Hallo,

meine Idee ist hierbei, das man zeigen muss, dass diese Reihe mindestens einmal diffbar ist.
und somit wäre
$f'(x)= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-1}{exp(nx²)*(2nx+exp(nx²))}$. [/mm]

Aber irgendwie wäre das ja viel zu simpel.
Kann mir jemand nen Tipp geben wie man diese Aufgabe lösen soll ?
Danke.

        
Bezug
Funktionenreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Mo 13.02.2006
Autor: Christian

Hallo.

> Zeigen Sie, dass durch die Funktionenreihe  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{1+exp(nx²)}[/mm] eine
> differenzierbare Funktion auf [mm]\IR[/mm]* (Ohne Null) definiert
> wird.
>  Hallo,
>  
> meine Idee ist hierbei, das man zeigen muss, dass diese
> Reihe mindestens einmal diffbar ist.
>  und somit wäre
>  [mm]f'(x)= \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-1}{exp(nx²)*(2nx+exp(nx²))}[/mm].
>  
> Aber irgendwie wäre das ja viel zu simpel.

Ja, das ist es auch.
Allerdings ist es auch nicht sonderlich viel komplizierter.
Warum darfst Du denn hier gliedweise differenzieren?

Gruß,
Christian


Bezug
                
Bezug
Funktionenreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mo 13.02.2006
Autor: DeusRa

"Warum darfst Du denn hier gliedweise differenzieren? "
Diese Frage verstehe ich nicht richtig im Zusammenhang ??
Muss ich hier die Funktion mit
[mm] $f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm]
bearbeiten ???
Wie soll ich diese Aufgabe angehen ?

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Bezug
Funktionenreihen: Tipp
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 00:00 Di 14.02.2006
Autor: dormant

Hi!

Was Christian meint (glaube ich) ist Folgendes:

Warum ist [mm] f'(x)=(\bruch{1}{1+1})' + (\bruch{1}{1+e^{x^{2}}})' + (\bruch{1}{1+e^{2x^{2}}})' + ... [/mm]? Klar ist, dass die einzelnen Terme auf dem ganzen Definitionsbereich diffbar sind, aber die Summenregel bei diffbaren Funktionen ist ja eigentlich nur für endliche Summen definiert...

Um 100%-ig korrekt zu sein, muss man gleich am Anfang zeigen, dass die Reihe für alle x aus dem Definitionsbereich konvergiert, weil man sonst über [mm] \IR [/mm] hinausschießt. Falls z.B. null zum Definitionsbereich gehört, kann man die Aufgabe gleich vergessen, weil dann die Reihe divergent ist.

Gruß,

Yanko



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Bezug
Funktionenreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Di 14.02.2006
Autor: Christian

Hallo nochmal.

Wie gesagt wendest Du ja die Summenregel für eine unendliche Summe an.
Die Konvergenz dieser Summe ist ja schon gezeigt.
Was wir aber brauchen, um tatsächlich Summation und Differentiation vertauschen zu dürfen, ist eine gewisse Qualität der Konvergenz,
nämlich die gleichmäßige Konvergenz dieser Reihe.

Gruß,
Christian

Bezug
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