Funktionenreihen/gleichm. konv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuche die folgenden Funktionenreihen auf gleichmäßige Konvergenz:
a) f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^\alpha} [/mm] , [mm] \alpha \in \IR [/mm] , x [mm] \in \IR
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^z} [/mm] , z [mm] \in \IC [/mm] mit Re(z) [mm] \ge 1+\varepsilon [/mm] > 1 |
huhu,
ich bin mir nicht sicher wie das bei Reihen geht. Ein Satz aus dem Internet den ich gefunden habe sagt, dass wenn meine Reihe in Absolutbeträgen eine absolut konvergente Majorante hat, die unabhängig von x ist, dann konvergiert meine Reihe auch gleichmäßig.
In etwa so hab ichs dann gemacht:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^\alpha} \le \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{sin(nx)}{n^\alpha}| \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\alpha}
[/mm]
So. dies konvergiert also für [mm] \alpha [/mm] > 1 und für [mm] \alpha [/mm] = 0 ist sie nicht definiert. Daher konvergiert meine Reihe für [mm] \alpha [/mm] > 1 gleichmäßig. Für [mm] \alpha [/mm] = 1 oder < 0 divergiert die Reihe an und für sich, kann ich sagen dass bei Divergenz die Funktionenreihe nicht konvergiert?
Lg,
Eve
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuche die folgenden Funktionenreihen auf
> gleichmäßige Konvergenz:
>
> a) [mm]f(x) = \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^\alpha}[/mm] ,
> [mm]\alpha \in \IR[/mm] , x [mm]\in \IR[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^z}[/mm] , z [mm]\in \IC[/mm] mit
> Re(z) [mm]\ge 1+\varepsilon[/mm] > 1
>
> huhu,
>
> ich bin mir nicht sicher wie das bei Reihen geht.
Konvergenz von Reihen ist immer als Kovergenz der Partialsummenfolge definiert. Also:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^\alpha}[/mm]
konvergiert (gleichmäßig), wenn
[mm]f_m(x)= \summe_{n=1}^{m} \bruch{sin(nx)}{n^\alpha}[/mm]
für [mm] $m\to\infty$ [/mm] (gleichmäßig) konvergiert.
> Ein Satz
> aus dem Internet den ich gefunden habe sagt, dass wenn
> meine Reihe in Absolutbeträgen eine absolut konvergente
> Majorante hat, die unabhängig von x ist, dann konvergiert
> meine Reihe auch gleichmäßig.
>
>
> In etwa so hab ichs dann gemacht:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^\alpha} \le \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{sin(nx)}{n^\alpha}| \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\alpha}[/mm]
>
> So. dies konvergiert also für [mm]\alpha > 1[/mm] und für [mm]\alpha = 0[/mm] ist sie nicht definiert.
Nein, sie divergiert für [mm] $\alpha=0$.
[/mm]
> Daher konvergiert meine Reihe
> für [mm]\alpha > 1[/mm] gleichmäßig. Für [mm]\alpha = 1[/mm] oder < 0
> divergiert die Reihe an und für sich, kann ich sagen dass
> bei Divergenz die Funktionenreihe nicht konvergiert?
Nein, denn du kannst den Schluss nicht einfach umkehren. Denke an alternierende Reihen: selbst wenn sie nicht absolut konvergieren, können sie immer noch konvergieren.
Aber da es um glm. Konvergenz geht, reicht es, wenn du einen Wert von x findest, für den die Reihe divergiert. (Denn glm. Konvergenz heißt ja, dass die Konvergenz unabhängig von x ist.)
Also: kannst du einen Wert von x finden, für den [mm] $\sin(nx)$ [/mm] immer positiv ist, z.B. immer 1?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
hmm ja,
wenn x = [mm] \bruch{\pi}{2n}
[/mm]
aber genau das hab ich ja mit meinem abschätzen zur Majorante doch bereits getan oder?^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hmm ja,
>
> wenn x = [mm]\bruch{\pi}{2n}[/mm]
n ist doch der Summationsindex, du kannst doch nicht für jeden Summanden ein anderes x nehmen. Du brauchst ein x, sodass [mm] $\sin(nx)=1$ [/mm] für alle n.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
hmm,
dann würd ich sagen nein. So ein x existiert nicht. der Sinus ist 1 bei pi/2. aber wenn ich n durchlaufe mit 1,2,3,4 bleibts niemals positiv, richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Do 26.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
