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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 So 02.04.2006 | | Autor: | Mato |
| Aufgabe | Gegeben:
F(x)= [mm] \bruch{1}{3}(x-3)^2*e^x
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}(x-3)(x-1)*e^x
[/mm]
[mm] g_{k}=\bruch{1}{3}(x-3)(x-k)*e^x [/mm] und x [mm] \in \IR
[/mm]
Zeigen Sie, dass f die einzige Funktion dieser Schar ist , deren Stammfunktion ebenfalls zu [mm] g_{k} [/mm] gehört! |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe gelöst, weiß jedoch nicht, ob meine Rechnung richtig ist. Außerdem wollte ich wissen, ob es einen besseren Rechenweg gibt.
Meine Lösung:
Zuerst habe ich die Ableitung der Schar gebildet:
[mm] g_{k}'=\bruch{1}{3}e^x(x^2-xk-x+2k-3)
[/mm]
Dann habe ich mir überlegt, dass bei allen Funktionen der Term [mm] (\bruch{1}{3}e^x) [/mm] unabhängig von k ist, d.h. fest bleibt.
Außerdem müsste der Term [mm] (x^2-xk-x+2k-3)=(x-3)(x-a) [/mm] sein, d.h. wenn man [mm] (x^2-xk-x+2k-3) [/mm] mit (x-3) dividiert, dann kommt (x-a) heraus.
Das habe ich auch mit Polynomdivision gemacht. Als Ergebnis kommt heraus: [mm] x-k+2+\bruch{3-k}{x-3}. [/mm] Der gebrochen-rationale Anteil muss Null sein, denn für x darf man nach der Definitionsmenge alles einsetzen, was nicht der Fall wäre für x=3; daraus folgt, dass k=3 sein muss. Für k=3 ist das Ergebnis dann: x-3+2=x-1
Dies entspricht f(x).
Habe ich damit recht oder nicht?
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 So 02.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mato
Ich find, du hast das gut und zielgerichtet gelöst. Man kann etwas andere, aber kaum kürzere Wege gehen, das bringt aber nicht viel.
Gruss leduart
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