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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maria85 |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem: Unser Lehrer hat uns eine Aufgabe gegeben, die wir als Vorbereitung auf die mündliche Prüfung lösen können. Nun bin ich angefangen, aber ich weiß erstens nicht, ob das was ich bis jetzt hab richtig ist und zweites weiß ich nicht weiter... kann mir vielleicht jemand helfen?
Also, die Aufgabe:
Zu jedem t [mm] \varepsilon [/mm] R ist eine Funktion [mm] f_t [/mm] gegeben durch [mm] f_t(x) [/mm] = [mm] (x-1)^2 [/mm] *(t-x) ; x [mm] \varepsilon [/mm] R .
Ihr Schaubild sei [mm] K_t.
[/mm]
a) Untersuchen Sie [mm] K_1 [/mm] auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen. Die Gerade duch die Schnittpunkte P und R von [mm] K_1 [/mm] mit den Koordinatenachsen (für P gilt: x<0; für R gilt: x=0) schneidet [mm] K_1 [/mm] in einem weiteren Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von [mm] K_1 [/mm] und der x-Achse begrenzt wird.
b) Zeigen Sie, dass das Schaubild [mm] K_1 [/mm] keine Extrempunkte besitzt. Bestimmen Sie für t>1 die Extrempunkte von [mm] K_t. [/mm] Untersuchen SIe für t>1, ob man t so bestimmen kann, dass die Gerade durch die Extrempunkte die Steigung [mm] \bruch{2}{9} [/mm] hat.
c) Der Punkt [mm] P_t [/mm] (t|0) liegt auf [mm] K_t, [/mm] der Punkt [mm] P_k [/mm] (k|0) auf [mm] K_k; [/mm] t [mm] \not=k. [/mm] Die Tangente an [mm] K_t [/mm] in [mm] P_t [/mm] soll parallel sien zur Tangente an [mm] K_k [/mm] in [mm] P_k. [/mm] Welcher Zusammenhang besteht dann für t [mm] \not=1 [/mm] zwischen z und k?
zu a) für die Schnittpunkte habe ich [mm] S_1(0|0), S_2 [/mm] (1|0) und [mm] S_3 [/mm] (2|-1) berechnet. Als Gerade habe ich y=-x+1 aus dem Koordinatensystem "abgelesen" (kann man die auch berechnen?). Der Flächeninhalt ist 0,25 FE.
zu b) Ich habe berechnet, dass dass es keinen Schnittpunkt geben kann, weil x=1 ist und somit f''(1)=0, deshalb ist kein Minimum oder Maximum vorhanden. Habe ich das dadurch gezeigt?
Für allgemeines t habe ich die Werte [mm] x_1= \bruch{2+t}{3} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{ \bruch{1+t}{9} -1,5} [/mm] und [mm] x_2= \bruch{2+t}{3} [/mm] - [mm] \wurzel[2]{ \bruch{1+t}{9} -1,5} [/mm] berechnet. Aber wie mache ich jetzt weiter?
zu c) habe ich keine Idee.
Kann mir vielleicht jemand (schnell) weiterhelfen? Ich habe am Donnerstag die Prüfung und würde vorher gerne wissen, wie ich das berechnen kann.
Vielen Dank, Liebe Grüße, Maria
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maria!
Ist Deine angegebene Funktionenschar mit [mm] $f_t(x) [/mm] \ = \ [mm] (x-1)^2*(t-x)$ [/mm] richtig?
Für [mm] $f_1(x)$ [/mm] erhalte ich nämlich: [mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ [mm] (x-1)^2*(1-x) [/mm] \ = \ [mm] (1-x)^3$ [/mm] und damit auch nur eine Nullstelle bei [mm] $x_N [/mm] \ = \ 1$ .
Auch bei den anderen Teilaufgaben haut das irgendwie nicht hin!
Bitte nochmal checken ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Di 17.05.2005 | | Autor: | Maria85 |
Hey Loddar!
Ja, ich habe die Funktion richtig angegeben.
Ich erhalte doch auch "nur" eine Nullstellt [mm] x_N [/mm] =1.
Wieso passt die Funktion in deinen Augen nicht?
MfG, Maria
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 17.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maria!
Mich irritiert folgende Angabe:
> a) [...] (für P gilt: x<0; für R gilt: x=0) [...]
Oder hast Du Dich hier nur verschrieben?
Oder hab' ich nur ein Brett vor dem Kopf ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ihr beiden,
mit der Funktion [mm] $f_t(x)=(x-1)^2\cdot [/mm] (t [mm] \red{+} [/mm] x)$ würde man die Nullstellen $x=-1 [mm] \vee [/mm] x=1 [mm] \vee [/mm] x=1$ erhalten. Damit gäbe es auch einen Schnittpunkt $P$ mit der $x$-Achse mit $x<0$. Die Gerade für die Teilaufgabe wäre dann $g(x)=x+1$ und die Funktion [mm] $f_1$ [/mm] hätte dann auch eine Fläche [mm] ($\new [/mm] 0$) mit der $x$-Achse.
Max
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Hallo Maria,
Gehen wir mal die Aufgabe Schritt für Schritt durch:
> Aufgabe:
> [mm]\forall t \in \IR[/mm] ist eine Funktion [mm]f_t[/mm] gegeben durch [mm]f_t\left(x\right) := \left(x-1\right)^2 \left(t-x\right)[/mm] mit [m]x \in \IR[/m]. Ihr Schaubild sei [mm]K_t.[/mm]
> a) Untersuchen Sie [mm]K_1[/mm] auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen.
[m]\begin{gathered}
f_1 \left( x \right) = \left( {x - 1} \right)^2 \left( {1 - x} \right) = \left( {1 - x} \right)^3 \hfill \\
f_1 \left( 0 \right) = 1;\;\left( {1 - x} \right)^3 = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Der Schnittpunkt R mit der y-Achse ist also [mm] $R\left(0|1\right)$. [/mm] Der Schnittpunkt P mit der x-Achse ist [mm] $P\left(1|0\right)$.
[/mm]
> Die Gerade duch die Schnittpunkte P und R von [mm]K_1[/mm] mit den Koordinatenachsen (für P gilt: x > 0; für R gilt: x = 0) schneidet [mm]K_1[/mm] in einem weiteren Punkt S.
> Berechnen Sie die Koordinaten von S.
Die Gerade durch P und R sei [m]g\left( x \right): = ax + b[/m].
Also [m]g\left( 0 \right) = b: = 1;g\left( 1 \right) = a + b = a + 1: = 0 \Leftrightarrow a = - 1 \Rightarrow g\left( x \right) = 1 - x[/m]. Wir setzen die Funktionsterme gleich:
[m]1 - x = \left( {1 - x} \right)^3 \mathop = \limits^{{\text{binomische Formel für }}\left( {a + b} \right)^3 } - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \Leftrightarrow - x^3 + 3x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x_{1;2} = \frac{3}
{2} \pm \sqrt {\frac{9}
{4} - \frac{8}
{4}} = \frac{3}
{2} \pm \frac{1}
{2} \Rightarrow x_1 = 2 \vee x_2 = 1[/m]
Letztenendes bringt uns aber nur die Lösung [mm] $x_1$ [/mm] einen weiteren (also dritten) Schnittpunkt mit [m]g\left( 2 \right) = - 1[/m]. Also ist [mm] $S\left(2|-1\right)$.
[/mm]
> Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von [mm]K_1[/mm] und der x-Achse begrenzt wird.
Diese Frage verstehe ich nicht. Geht es hierbei nur um die Fläche oberhalb der x-Achse oder auch unterhalb? Jedenfalls lautet das bestimmte Integral dann:
[m]\int\limits_a^b {\left( {1 - x} \right)^3 dx} = \left[ { - \frac{{\left( {1 - x} \right)^4 }}
{4}} \right]_a^b = - \frac{{\left( {1 - b} \right)^4 }}
{4} + \frac{{\left( {1 - a} \right)^4 }}
{4} = \frac{1}
{4}\left( {\left( {1 - a} \right)^4 - \left( {1 - b} \right)^4 } \right)[/m]
Um eine geschlossene Form für dieses Integral zu finden, braucht man hier eigentlich nur zu wissen wie [mm] $q\left(x\right) [/mm] := [mm] x^n$ [/mm] integriert wird und das die Kettenregel auch die innere Ableitung einer zusammengesetzten Funktion einbezieht (Deshalb das Minus im geschlossenen Ausdruck).
> b) Zeigen Sie, dass das Schaubild [mm]K_1[/mm] keine Extrempunkte
> besitzt.
Angenommen [mm] $f_1\left(x\right)$ [/mm] besäße Extremstellen, dann
[m]\begin{gathered}
f_1 '\left( x \right) = - 3\left( {1 - x} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - x = 0 \vee x - 1 = 0} \right) \Leftrightarrow x = 1 \hfill \\
f_1 ''\left( 1 \right) = 6\left( {1 - 1} \right) = 0 \wedge f_1^{\left( 3 \right)} \left( 1 \right) = - 6 \ne 0 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Widerspruch! Also besitzt [mm] $f_1$ [/mm] keine Extremstellen (aber eine Wendestelle bei x = 1).
> Bestimmen Sie für t > 1 die Extrempunkte von [mm]K_t[/mm].
Sei also t > 1. Wir bestimmen x für die gilt: [m]f_t' \left( x \right) = 0 \wedge f_t'' \left( x \right) \ne 0[/m]. Also:
[m]f_t' \left( x \right) = \left[ {\left( {x - 1} \right)^2 \left( {t - x} \right)} \right]'\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Produktregel}}{\text{, dann}} \\
{\text{Kettenregel}}
\end{subarray}} 2\left( {x - 1} \right)\left( {t - x} \right) - \left( {x - 1} \right)^2 = \left( {x - 1} \right)\left( {2\left( {t - x} \right) - x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( { - 3x + 2t + 1} \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {3x - 2t - 1} \right) = 0[/m]
Für x = 1 haben wir uns ja bereits für [mm] $K_1$ [/mm] überlegt, daß es da keine Extremstelle geben kann, aber gilt das auch für alle t > 1?
[m]f_t'' \left( x \right) = \left[ {\left( {1 - x} \right)\left( {3x - 2t - 1} \right)} \right]' = - \left( {3x - 2t - 1} \right) + 3\left( {1 - x} \right) = - 3x + 2t + 1 + 3 - 3x = - 6x + 2t + 4;\;f_t'' \left( 1 \right) = 2t - 2 = 2\left( {t - 1} \right) > 0 \Rightarrow t > 1[/m]
Nein! Für t > 1 liegt bei [mm] $f_t$ [/mm] für x = 1 ein Tiefpunkt [mm] $T\left(1|0\right)$ [/mm] vor. Betrachten wir jetzt noch
[m]3x - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow 3x = 2t + 1 \Leftrightarrow x = \frac{{2t + 1}}{3}[/m]
Also:
[m]f_t ''\left( {\frac{{2t + 1}}
{3}} \right) = - 6\frac{{2t + 1}}
{3} + 2t + 4 = - 4t - 2 + 2t + 4 = - 2t + 2 = 2\left( {1 - t} \right) < 0 \Rightarrow t > 1[/m]
Für t > 1 ist dies also ein Hochpunkt [m]H\left( {\left. {\frac{{2t + 1}}{3}} \right|f\left( {\frac{{2t + 1}}{3}} \right) = \frac{{4\left( {t - 1} \right)^3 }}{{27}}} \right)[/m].
> Untersuchen Sie für t > 1, ob man t so bestimmen kann, dass
> die Gerade durch die Extrempunkte die Steigung [mm]\bruch{2}{9}[/mm] hat.
Bestimmen wir also die Steigung der Gerade [mm] $h\left(x\right) [/mm] := mx + n$ durch die Punkte T und H:
[m]\left. \begin{gathered}
m + n = 0 \Leftrightarrow m = - n \hfill \\
\frac{{2t + 1}}
{3}m + n = \frac{{4\left( {t - 1} \right)^3 }}
{{27}} \hfill \\
\end{gathered} \right\}n - \frac{{2t + 1}}
{3}n = n\left( {1 - \frac{{2t + 1}}
{3}} \right) = \frac{{4\left( {t - 1} \right)^3 }}
{{27}} \Leftrightarrow n = - \frac{{2\left( {t - 1} \right)^2 }}
{9} \Rightarrow m = \frac{{2\left( {t - 1} \right)^2 }}
{9}[/m]
Nun sieht man sofort, daß t entweder 2 oder 0 sein muß, damit die Steigung den gewünschten Wert hat. Wegen t > 1, muß dann t = 2 gelten.
> c) Der Punkt [mm]P_t\left(t|0\right)[/mm] liegt auf [mm]K_t[/mm]; Der Punkt [mm]P_k\left(k|0\right)[/mm] auf [mm]K_k;\;t \not= k[/mm]. Die Tangente an [mm]K_t[/mm] in [mm]P_t[/mm] soll parallel
> zur Tangente an [mm]K_k[/mm] in [mm]P_k[/mm] sein.
> Welcher Zusammenhang besteht dann für [mm]t \not= 1[/mm] zwischen t und k?
Bestimmen wir zunächst die Tangente an [mm] $P_t$:
[/mm]
[m]r\left( x \right): = ax + b[/m]. Es gilt:
[m]\begin{gathered}
r\left( t \right) = f_t '\left( t \right)t + b = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - t} \right)\left( {3t - 2t - 1} \right)t + b = t\left( {1 - t} \right)\left( {t - 1} \right) + b = 0 \Leftrightarrow b = t\left( {1 - t} \right)^2 \hfill \\
\Rightarrow r\left( x \right) = f_t '\left( t \right)x + t\left( {1 - t} \right)^2 = \left( {1 - t} \right)\left( {t - 1} \right)x + t\left( {1 - t} \right)^2 = \left( {t - 1} \right)^2 \left( {t - x} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Die Tangente an [mm] $P_k$ [/mm] sollte sich analog bestimmen lassen:
[m]s\left( x \right) = \left( {k - 1} \right)^2 \left( {k - x} \right)[/m]
Wenn die Tangenten parallel sein sollen, dürfen sie keine gemeinsamen Punkte haben. Ich denke in diesem Fall reicht es sicherzustellen das s und r die gleiche Steigung haben, da s und r wegen $t [mm] \ne [/mm] k$ nicht identisch sein können:
Allerdings gilt dann: [m] - \left( {t - 1} \right)^2 = - \left( {k - 1} \right)^2 \Leftrightarrow t = k[/m] und das ist irgendwie widersprüchlich. Irgendwie verstehe ich Teil c) auch nicht.
Grüße
Karl
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Für die nullstellen und die schnittpunkte mit der y-achse muss man einfach nur jeweils x und y=0 setzen
Dann kommt man au folgendes
[mm]0=(x-1)^2(t-x)[/mm]
das produkt ist Null wenn einer der faktoren Null ist
fallunterscheidung:
[mm]0=(x-1)^2[/mm]
[mm]0=x^2-2x+1[/mm]
[mm]x(n1)=1[/mm]
[mm]0=(t-x)[/mm]
[mm]x(n2)=t[/mm]
die punkte sind demzufolge S1(1/0) und S2(t/0)
nun zu den schnittpunkten mit der y-Achse:
[mm]f(0)=t[/mm]
also S3(0/t)
für x<0 kann nur S1 gemeint sein weil die anderen x ja alle 0 sind
somit muss t<0 sein
so sind die punkte P(t/0) mit t<0 und R(0/t)
so ist die Gerade [mm]g: y=-x+t[/mm]
dann brauchst du ja nur noch gleichsetzen [mm]x+t=(x-1)^2(t-x)[/mm]
und kommst auf den punkt S(2/k-2)
für den flächeninhalt brauchst du zunächst die zwei nullstellen um die intervallgrenzen zu definieren, dann kannst du mit dem integral weiterrechnen
[mm]\integral_{t}^{1} f(x)dx[/mm]
dann musst du mit der Regel [mm]\integral_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)[/mm] weiterrechnen
das wäre erstmal alles zu aufgabe a)
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