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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ademcan |
| Aufgabe | Gegeben ist ft(x) = [mm] \bruch{1}{2} \*(tx-ln(x)) [/mm] ; t>0
Von A ( 0 / 0,5 ) aus wird an jeden Graphen Kt die Tangente gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte. Geben Sie den geometrischen Ort aller Berührpunkte an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
für die Tangente hab ich mir y= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (t-\bruch{1}{x}) [/mm] * x + 0,5 überlegt. Ich weiß aber nicht mehr weiter :(
Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo ademcan, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Gegeben ist ft(x) = [mm]\bruch{1}{2} \*(tx-ln(x))[/mm] ; t>0
>
> Von A ( 0 / 0,5 ) aus wird an jeden Graphen Kt die Tangente
> gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
> Geben Sie den geometrischen Ort aller Berührpunkte an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> für die Tangente hab ich mir y= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm](t-\bruch{1}{x})[/mm] * x + 0,5 überlegt. Ich weiß aber nicht
Hast du die einfach ausgedacht oder wie kommst du dadrauf? Jedenfalls stimmt die Tangente nicht, da
1) Die Tangente y die Funktion [mm] f_t(x) [/mm] schneidet.
2) Die Tangente durch den Punkt [mm] A(\red{0}|0.5) [/mm] geht.
Machen wir mal die Probe, in dem wir den Punkt einsetzen.
[mm] $y=\bruch{1}{2} *(t-\bruch{1}{x})*x [/mm] + 0.5$
Würden wir ihn direkt einsetzen, hätten wir das Problem, dass wir durch null teilen, also müssen wir den kritischen Term mal ausmultiplizieren
[mm] $y=\bruch{1}{2} *(tx-\bruch{x}{x}) [/mm] + 0.5$
[mm] $y=\bruch{1}{2} [/mm] *(tx-1) + 0.5$
[mm] $y=\bruch{1}{2}tx-0.5 [/mm] + 0.5$
Mit x = 0 kommen wir nicht auf den Punkt A.
Also zeig uns doch mal deine Rechnung, damit wir den Fehler finden können oder deinen Ansatz. Denn hellsehen kann ich nicht.. Und die meisten anderen vermutlich auch nicht.
> mehr weiter :(
> Kann mir jemand helfen?
Im allgemeinen Fall gleichsetzen und nach x auflösen. Aber da die Tangentengleichung nicht stimmt, brauchst du auch gar nicht erst weiterrechnen.
MfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ademcan |
Hi Disap,
erstmal vielen dank für die schnelle Antwort.
Die Tangente sieht ja allgemein so aus: y = mx + n
Die Steigung m ist ja die 1.Ableitung, also: m = f't(x).
Für die Steigung m hab ich dann raus: [mm] \bruch{1}{2}*(t- \bruch{1}{x})
[/mm]
Der y-Achsenabschnitt n ist ja 0,5 da die Tangente immer durch den Punkt A verläuft.
So komm ich dann also zu y = [mm] \bruch{1}{2}*(t- \bruch{1}{x}) [/mm] * x + 0,5
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ademcan!
Prinzipiell ist Dein Ansatz richtig!
> Für die Steigung m hab ich dann raus: [mm]\bruch{1}{2}*(t- \bruch{1}{x})[/mm]
Allerdings ist hier kein allgemeines $x_$ gemeint, sondern der x-Wert des Berührpunktes (an der sich Tangente und Kurve berühren).
Du musst also zunächst diesen Wert [mm] $x_b$ [/mm] berechnen?
An dieser Stelle [mm] $x_b$ [/mm] gilt ja: [mm] $f_t(x_b) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[t*x_b-\ln(x_b)\right] [/mm] \ = \ [mm] \blue{m}*x_b+\bruch{1}{2}$
[/mm]
Sowie: $m \ = \ [mm] f_t'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{2}*\left(t-\bruch{1}{x_b}\right)}$
[/mm]
Durch Einsetzen erhalten wir:
[mm] $\bruch{1}{2}*\left[t*x_b-\ln(x_b)\right] [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{2}*\left(t-\bruch{1}{x_b}\right)}*x_b+\bruch{1}{2}$
[/mm]
Hieraus nun [mm] $x_b$ [/mm] ermitteln ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ademcan |
Also für xb hab ich dann 1 raus.
für den Berührpunkt Bt gilt dann Bt (1 / [mm] \bruch{t}{2})
[/mm]
Jetzt muss ich weiter überlegen wie ich auf die Ortskurve der Berührpunkte komme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ademcan!
Auf welcher geometrischen Kurve befinden sich denn alle Berührpunkte? Ist das abhängig von $x_$ oder nicht?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ademcan |
der x-wert bleibt ja immer gleich. Nur der y-wert ändert sich wegen t.
Ich hab das so gelernt: ich guck mir die koordinaten von dem Berührpunkt X = 1 und y = [mm] \bruch{t}{2} [/mm] an.
Ich muss irgendwie x=1 in die y-koordinate einsetzen..aber geht ja nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ademcan |
Ja stimmt rein logisch muss ja die Ortskurve X = 1 sein.
Ich danke Dir sehr für die Hilfe loddar. Ich weiß nicht wie ich mich bei dir und Disap bedanken soll. ihr seid einfache spitze!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ademcan!
> Ja stimmt rein logisch muss ja die Ortskurve X = 1 sein.
Genau richtig (und selber ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ) erkannt!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ademcan!
> für die Tangente hab ich mir y= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](t-\bruch{1}{x})[/mm] * x + 0,5 überlegt.
Meinst Du bei dem x-Wert im Nenner etwa die Berührstelle [mm] $x_b$ [/mm] ? Dann stimmt diese Tangentengleichung.
Hast Du bereits einen Wert für dieses [mm] $x_b$ [/mm] berechnet?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ademcan |
Ja genau es sollte eigentlich xb heissen, die müssen sich ja unterscheiden.
Für xb hab ich kein Wert. Ich weiss nicht genau wie ich da vorgehen soll.
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