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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Funktionenschar und Tiefpunkt
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Funktionenschar und Tiefpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 So 13.11.2011
Autor: CastaKyose

Aufgabe
Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=2+$ [mm] e^{a*x} [/mm] $-$ [mm] e^{x} [/mm] $ ; a>1

a) Berechne den Tiefpunkt von fa(x) in Abhängigkeit von a.
b) Bestimme den Wert für a, für der Tiefpunkt die y-Koordinate 1,5 hat.
c) Begründe: Für a<1 hätte Kfa keinen Tiefpunkt.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe zuerst versucht den Tiefpunkt durch einsetzen von einem Wert in a  zu berechnen, damit ich einen Überblick bekomme.
Ich habe den Wert 2 für a eingesetzt.

f2(x)=2+$ [mm] e^{2*x} [/mm] $-$ [mm] e^{x} [/mm] $

dieses habe ich abgeleitet  
f2'(x)=$ [mm] 2*e^{2*x} [/mm] $-$ [mm] e^{x} [/mm] $
f2''(x)=$ [mm] 4*e^{2*x} [/mm] $-$ [mm] e^{x} [/mm] $

Lösung durch Ausklammern  [mm] e^{x}$(2e^{x}-1)=0$ [/mm]

[mm] $2e^{x}-1=0$ [/mm]
x=ln 1/2
x=ln 1/2 habe ich eingesetzt in f2(x)
und habe f2(ln 1/2)=1,75 rausbekommen
also Tiefpunkt ist (ln 1/2;1,75)

Ich habe diese Methode bei der eigentlichen Aufgabe bei a) angewendet, aber irgendwie komme ich nicht auf ein Ergebnis.
Ich bin in Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Und verstehe b ebenfalls nicht und habe keinen Plan was ich machen soll.
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen würde.


        
Bezug
Funktionenschar und Tiefpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 So 13.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo CastaKyose und erstmal herzlich [willkommenmr],


> Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=2+[mm] e^{a*x} [/mm]-[mm] e^{x}[/mm] ;
> a>1
>  
> a) Berechne den Tiefpunkt von fa(x) in Abhängigkeit von
> a.
>  b) Bestimme den Wert für a, für der Tiefpunkt die
> y-Koordinate 1,5 hat.
>  c) Begründe: Für a<1 hätte Kfa keinen Tiefpunkt.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Also ich habe zuerst versucht den Tiefpunkt durch
> einsetzen von einem Wert in a  zu berechnen, damit ich
> einen Überblick bekomme.
> Ich habe den Wert 2 für a eingesetzt.
>  
> f2(x)=2+[mm] e^{2*x} [/mm]-[mm] e^{x}[/mm]
>  
> dieses habe ich abgeleitet  
> f2'(x)=[mm] 2*e^{2*x} [/mm]-[mm] e^{x}[/mm]
>  f2''(x)=[mm] 4*e^{2*x} [/mm]-[mm] e^{x}[/mm]
>  
> Lösung durch Ausklammern  [mm]e^{x}[/mm] [mm](2e^{x}-1)=0[/mm]
>  
> [mm]2e^{x}-1=0[/mm]
>  x=ln 1/2
>  x=ln 1/2 habe ich eingesetzt in f2(x)
>  und habe f2(ln 1/2)=1,75 rausbekommen
>  also Tiefpunkt ist (ln 1/2;1,75)

Naja, das solltest du ja eigentlich andersherum machen, allg. a) bearbeiten und dann dasjenige [mm]a[/mm] so bestimmen, dass 1,75 die y-Koordinate des TP ist

>  
> Ich habe diese Methode bei der eigentlichen Aufgabe bei a)
> angewendet, aber irgendwie komme ich nicht auf ein
> Ergebnis.

Na, du rechnest die Ableitung(en) genauso mit der Kettenregel aus, wie in deinem Bsp. für [mm]a=2[/mm]

[mm]f_a(x)=2+e^{ax}-e^x[/mm]

[mm]\Rightarrow f_a'(x)=a\cdot{}e^{ax}-e^x[/mm]

[mm]\Rightarrow f_a''(x)=\ldots[/mm] - dein Part

Dann: [mm]f_a'(x)=0\gdw e^x\cdot{}\left(ae^{(a-1)x}-1\right)=0[/mm] usw.

> Ich bin in Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Und verstehe
> b ebenfalls nicht und habe keinen Plan was ich machen
> soll.
>  Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen würde.

Reicht das schon?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Funktionenschar und Tiefpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 So 13.11.2011
Autor: CastaKyose

Ich danke dir sehr für deine Antwort. Nur bei x habe ich dann  [mm] \left( \bruch{ln1/2}{a-1} \right) [/mm] raus. Stimmt das? Und den x Wert muss ich ja dann in fa(x) einsetzen. Und genau dort kann ich nicht mehr weiter rechnen.

Außerdem kontest du mir auch bei den anderen zwei Aufgaben helfen?


Bezug
                
Bezug
Funktionenschar und Tiefpunkt: "Rückfrage"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 So 13.11.2011
Autor: CastaKyose

Aufgabe
Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=2+- ;
a>1    
a) Berechne den Tiefpunkt von fa(x) in Abhängigkeit von
a.
b) Bestimme den Wert für a, für der Tiefpunkt die
y-Koordinate 1,5 hat.
c) Begründe: Für a<1 hätte Kfa keinen Tiefpunkt.

>Dann: $ [mm] f_a'(x)=0\gdw e^x\cdot{}\left(ae^{(a-1)x}-1\right)=0 [/mm] $
Wie kommst du auf das (a-1).
Aber wenn ich auf diese Weise weiter rechne komme ich auf das  x Wert  [mm] \left( \bruch{ln1/a}{a-1} \right) [/mm]
stimmt das?
Ab hier komme ich nicht mehr weiter, weil wenn ich dieses X Wert in fa(x) einsetze, kann ich nicht weiter rechnen.
Und bei b) und c) brauche ich auch Hilfe.

Bezug
                        
Bezug
Funktionenschar und Tiefpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 So 13.11.2011
Autor: Steffi21

Hallo,

zu a)

[mm] f'(x)=a*e^{ax}-e^{x} [/mm]

[mm] 0=a*e^{ax}-e^{x} [/mm]

jetzt wird [mm] e^{x} [/mm] ausgeklammert

[mm] 0=e^{x}*(a*e^{(a-1)x}-1) [/mm]

benutze ein Potenzgesetz: zwei Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert

[mm] e^{x}*e^{(a-1)x}=e^{x}*e^{ax-x}=e^{x+ax-x}=e^{x} [/mm]

[mm] x=\bruch{ln\bruch{1}{a}}{a-1}=\bruch{-ln(a)}{a-1} [/mm]

[mm] f(\bruch{-ln(a)}{a-1})=2+e^{a*\bruch{-ln(a)}{a-1}}-e^{\bruch{-ln(a)}{a-1}} [/mm]

zu b)
löse

[mm] 1,5=2+e^{a*\bruch{-ln(a)}{a-1}}-e^{\bruch{-ln(a)}{a-1}} [/mm]

Steffi



Bezug
                                
Bezug
Funktionenschar und Tiefpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 So 13.11.2011
Autor: CastaKyose

Ich danke dir sehr Steffi21, deine Antwort war mir sehr hilfreich.


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