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| Aufgabe | Seien f,g : R -> R zwei stetige Funktionen mit f(x) = g(x) für alle x Element Q.
Zeigen Sie , dass f(x)=g(x) für alle x Element R gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Naja die einzige Idee ist ein Beweis durch Widerspruch. Irgendwie aber ziemlich abstrakt alles. Meine einzige Idee bisher die Annahme [mm] f(x)\not=g(x) [/mm] für alle x Element R.
Daraus würde ja immerhin schonmal folgen:
[mm] f(x)\not=g(x) [/mm] für alle x Element Q.
Als Beweis ausreichen dürfte das wohl kaum. Daher wäre ich über einen Denkanstoss dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Di 06.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Seien f,g : R -> R zwei stetige Funktionen mit f(x) = g(x)
> für alle x Element Q.
> Zeigen Sie , dass f(x)=g(x) für alle x Element R gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Naja die einzige Idee ist ein Beweis durch Widerspruch.
> Irgendwie aber ziemlich abstrakt alles. Meine einzige Idee
> bisher die Annahme [mm]f(x)\not=g(x)[/mm] für alle x Element R.
Nein, so funktioniert der indirekte Beweis nicht.
Die Gegenannahme von "Für alle x gilt ..." ist
"Es existiert EIN x, wo nicht ... gilt."
>
> Daraus würde ja immerhin schonmal folgen:
>
> [mm]f(x)\not=g(x)[/mm] für alle x Element Q.
>
> Als Beweis ausreichen dürfte das wohl kaum. Daher wäre
> ich über einen Denkanstoss dankbar.
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Stimmt, das hatte ich Gott sei Dank auch schon im Kopf. Mal sehen was mir dazu noch einfällt. Danke schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Di 06.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Mathelehrling und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Seien f,g : R -> R zwei stetige Funktionen mit f(x) = g(x)
> für alle x Element Q.
> Zeigen Sie , dass f(x)=g(x) für alle x Element R gilt.
(Annahme: Du meinst [mm] \IQ [/mm] statt [mm] $Q\$ [/mm] bzw. [mm] \IR [/mm] statt [mm] $R\$.)
[/mm]
Sei [mm] x\in\IR. [/mm] Nun liegt [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR, [/mm] so dass es eine Folge [mm] $(q_n)\$
[/mm]
rationaler Zahlen gibt mit..
(It's your turn!)
Gruß
DieAcht
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Hmm du meinst das Folgen rationer Zahlen gegen irrationale Zahlen konvergieren können ?
Kann ich nicht , da die Funktionen stetig sind mit einer rationalen Folge die gegen eine irrationale Zahl konvergiert mithilfe des Folgenkriteirum zeigen, dass dann auch f(x)=g(x) für alle x Element reele Zahlen gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Di 06.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Hmm du meinst das Folgen rationer Zahlen gegen irrationale Zahlen konvergieren können ?
Nein. Sei [mm] x\in\IR. [/mm] Da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt existiert eine Folge [mm] $(q_n)\$
[/mm]
rationaler Zahlen mit [mm] $q_n\to [/mm] x$ für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Jetzt du!
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Könnte es sein, dass dann also:
Weil f,g stetig sind, also für jede $ [mm] (q_n)\ [/mm] $ rationaler Zahlen,
mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}$ (q_n)\ [/mm] $ = [mm] x_{0} [/mm] mit [mm] x_{0} \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f($ (q_n)\ [/mm] $) = [mm] f(x_{0})
[/mm]
und damit dann ja auch die irrationalen Zahlen mit von der Partie wären.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mi 07.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Könnte es sein, dass dann also:
>
> Weil f,g stetig sind, also für jede [mm](q_n)\[/mm] rationaler
> Zahlen,
>
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm](q_n)\[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] mit [mm]x_{0} \in \IR[/mm]
> \ [mm]\IQ[/mm] gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f([/mm] [mm](q_n)\ [/mm]) = [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> und damit dann ja auch die irrationalen Zahlen mit von der
> Partie wären.
Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (q_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] mit [mm] q_n \to x_0 [/mm] (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Wogegen strebt die Folge [mm] (f(q_n)) [/mm] ?
Wogegen strebt die Folge [mm] (g(q_n)) [/mm] ?
Was folgt dann aus der Vor. [mm] f(q_n)=g(q_n) [/mm] für alle n ?
FRED
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Hey, habe mir das gerade nochmal angeschaut und muss da gleich erstmal was drüber nachdenken. Stelle dann ggf heute Abend oder ansonsten wohl eher morgen eine neue Frage dazu.
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Könnte dann also das Folgenkriterium irgendwie helfen ?
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