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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:04 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
| Aufgabe | Gibt es holomorphe Funktionen f,g und [mm] h:\IC\to\IC [/mm] mit
a) [mm] f^{(n)}(0)=2^{n} [/mm] n!
b) [mm] g(\bruch{1}{n})=g(\bruch{-1}{n})=\bruch{1}{n^2}
[/mm]
c) [mm] h(\bruch{1}{2n})=h(\bruch{1}{2n-1})=\bruch{1}{n}
[/mm]
für alle n>0? |
Hallo,
die Aufgabe habe ich teilweise aufgelöst, bin mir aber nicht sicher, ob die Lösung richtig ist.
a) Falls f existiert, dann gibt es eine Potenzreihenentwicklung für f um Punkt 0 mit dem Konvergenzradius [mm] R\ge1.
[/mm]
[mm] f(z)=\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(0)}{n!}z^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{2^n n!}{n!}z^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} 2^n z^n
[/mm]
Der Konvergenzraduis lässt sich berechnen durch:
R= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\bruch{1}{2}
[/mm]
Also f existiert.
[mm] b)z_{n}= \bruch{1}{n^2} [/mm] besitzt den Häufungspunkt 0 in [mm] \IC. [/mm]
Aus [mm] g(\bruch{1}{n})=g(\bruch{-1}{n})=\bruch{1}{n^2} [/mm] folgt wegen Identitätssatz:
[mm] g(z)=z^2=g(-z) [/mm] also g exixtiert.
c) Wie bei b) besitzt [mm] z_{n}= \bruch{1}{n} [/mm] den Häufungspunkt 0 in [mm] \IC.
[/mm]
Substituire [mm] z=\bruch{1}{2n}. [/mm] Daraus folgt [mm] n=\bruch{1}{2z}. [/mm] Also h(z)=2z.
Substituire [mm] z=\bruch{1}{2n-1}. [/mm] Dann ist [mm] n=\bruch{z+1}{2z} [/mm] und [mm] h(z)=\bruch{2z}{1+z} [/mm] . Da h in z=-1 nicht komplex-diffrenzierbar ist, ist h nicht holomorph auf [mm] \IC. [/mm] Also h existiert nicht.
Ich hoffe, ich bin nicht auf dem falschen Weg! Bin für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:46 Sa 06.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gibt es holomorphe Funktionen f,g und [mm]h:\IC\to\IC[/mm] mit
>
> a) [mm]f^{(n)}(0)=2^{n}[/mm] n!
>
> b) [mm]g(\bruch{1}{n})=g(\bruch{-1}{n})=\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> c) [mm]h(\bruch{1}{2n})=h(\bruch{1}{2n-1})=\bruch{1}{n}[/mm]
>
> für alle n>0?
> Hallo,
>
> die Aufgabe habe ich teilweise aufgelöst, bin mir aber
> nicht sicher, ob die Lösung richtig ist.
>
> a) Falls f existiert, dann gibt es eine
> Potenzreihenentwicklung für f um Punkt 0 mit dem
> Konvergenzradius [mm]R\ge1.[/mm]
>
> [mm]f(z)=\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(0)}{n!}z^n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{2^n n!}{n!}z^n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} 2^n z^n[/mm]
> Der Konvergenzraduis lässt
> sich berechnen durch:
> R= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\bruch{1}{2}[/mm]
Soweit so gut. Wenn $f$ jetzt auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph waere, wie gross muesste dann der Konvergenzradius sein?
> Also f existiert.
>
> [mm]b)z_{n}= \bruch{1}{n^2}[/mm] besitzt den Häufungspunkt 0 in [mm]\IC.[/mm]
> Aus [mm]g(\bruch{1}{n})=g(\bruch{-1}{n})=\bruch{1}{n^2}[/mm] folgt
> wegen Identitätssatz:
>
> [mm]g(z)=z^2=g(-z)[/mm] also g exixtiert.
Du kannst auch einfach ein konkretes $g$ angeben, und zeigen dass es die Bedingungen aus der Aufgabenstellung erfuellt.
> c) Wie bei b) besitzt [mm]z_{n}= \bruch{1}{n}[/mm] den Häufungspunkt
> 0 in [mm]\IC.[/mm]
> Substituire [mm]z=\bruch{1}{2n}.[/mm] Daraus folgt [mm]n=\bruch{1}{2z}.[/mm]
> Also h(z)=2z.
Genau.
> Substituire [mm]z=\bruch{1}{2n-1}.[/mm] Dann ist [mm]n=\bruch{z+1}{2z}[/mm]
> und [mm]h(z)=\bruch{2z}{1+z}[/mm] . Da h in z=-1 nicht
> komplex-diffrenzierbar ist, ist h nicht holomorph auf [mm]\IC.[/mm]
Warum machst du das jetzt? Du weisst doch, dass $h(z) = 2 z$ ist. Also setz [mm] $\frac{1}{2 n - 1}$ [/mm] ein und siehe da, es kommt nicht [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] raus, was fuer eine Ueberraschung. Damit kann es $h$ nicht geben.
LG Felix
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