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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 So 23.11.2008 | | Autor: | Jule_ |
Ich habe die Graphen einer Funktion und den Graphen einer Ableitung und soll nun sagen, ob es sich um den Graphen der Ableitung der Funktion handelt oder nicht.
Könnt ihr mir Tipps gehben wie ich da am besten vorgehe. Woran kann ich erkennen ob es sich bei dem Graphen der Abl. um die Ableitung der Funktion handelt?
Ich könnte die Ableitung der gegebenen Funktion bilden und Punkte aus dem Graphen der Ablietung ablesen und einsetzte, aber geht das nicht einfacher?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 23.11.2008 | | Autor: | janmoda |
Hallo,
du könntest dir z.b. die Extremalstellen des Funktionsgraphen ansehen. Die Steigung in Hoch- bzw. Tiefpunkten ist 0. Nun nimmst du die Graphen der Ableitungsfunktion zur Hand und überprüfst ob sie anstelle der Extremalpunkte eine Nullstelle aufweisen.
Da die Ableitungsfunktion Auskunft über die Steigung der Urprungsfunktion gibt muss die Ableitung zudem für den steigenden Bereich der Ursprungsfunktion im positiven Wertebereich liegen. Für den fallenden Bereich der Ursprungsfunktion gilt das Gegenteil.
ICh hoffe das hilft dir weiter.
Besten Gruß janmoda
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 23.11.2008 | | Autor: | Jule_ |
Danke! Ja, das hilft mir schon weiter.
Gibt es noch mehr Punkte, die ich überprüfen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 So 23.11.2008 | | Autor: | janmoda |
Ja die gibt es. In Wendepunkten der Ursprungsfunktion ist die Steigung am größten/kleinsten. An Ihrer Stelle musst du, je nach dem ob sie sich in einem steigenden bzw. fallenden Bereich der Ursprungsfunktion befinden, einen Hoch- bzw. Tiefpunkt in dem Graph der Ableitungsfunktion entdecken.
Gruß janmoda
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Jule_ |
...und was ist nun mit meiner ursprünglichen Frage?
Gibt es noch weitere Vergleichsmöglichkeiten? Wie kann ich, wenn ich nur den Graphen habe die Funktionsgleichung von diesem bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 24.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ...und was ist nun mit meiner ursprünglichen Frage?
Ich denke, die wichtigsten Kriterien zur Unterscheidung f oder f' sind ja gegeben worden.
>
> Gibt es noch weitere Vergleichsmöglichkeiten? Wie kann ich,
> wenn ich nur den Graphen habe die Funktionsgleichung von
> diesem bestimmen?
Da kommt es ganz drauf an, was für ene Funktion vorliegt.
Hast du eine Extponentialfunktion [mm] f(x)=c*a^{x} [/mm] reichen zwei gegebene Bedingungen, um a und c zu ermitteln.
Hast du dagegen eine ganzrationale Funktion der Form [mm] f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx²+dx+e [/mm] brauchst du fünf Bedinungen, um die fünf Variablen a-e zu bestimmen.
Mögliche Bedingungen:
f(x) geht durch P(x/y) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=y
f(x) hat die Nullstelle [mm] x_{0} \Rightarrow f(x_{0})=0
[/mm]
f(x) hat die Extremstelle [mm] x_{e} \Rightarrow f'(x_{e})=0
[/mm]
f(x) hat die Wendestelle [mm] x_{w} \Rightarrow f''(x_{w})=0
[/mm]
f(x) hat die Sattelstelle [mm] x_{s} \Rightarrow f''(x_{s})=0 [/mm] und [mm] f'(x_{s})=0
[/mm]
f(x) hat an der Stelle [mm] x_{m} [/mm] die Steigung m [mm] \Rightarrow f'(x_{m})=m
[/mm]
Natürlich kann auch eine Kombination vorkommen.
BSP:
[mm] f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx²+dx+e
[/mm]
Soll einen Sattelpunkt bei P(1/3) und Extrema im P(-1/2) haben
Der Sattelp. ergibt folgende Bedingungen
f(1)=3
f'(1)=0
f''(1)=0
Der Extrempunkt liefert weiter:
f(-1)=2
f'(-1)=0
Erstmal die Ableitungen.
f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d
f''(x)=12ax²+6bx+2c
Das ergibt folgendes GLS
[mm] \vmat{a+b+c+d+e=3\\4a+3b+2c+d=0\\12a+6b+2c=0\\a-b+c-d+e=2\\-4a+3b-2c+d=0}
[/mm]
Und das kannst du nun lösen, um a bis e zu bestimmen, und damit dann f(x)
Hilft das weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Jule_ |
Ja, Danke.
Gibt es die Punkte die man untersuchen kann auch für die Stammfunktion einer Funktion?
Wie geh ich da vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 24.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Genauso, wie beim Untersuchen, welche der beiden Funktionen f oder f' die Ableitung f' und welche die Funktion f ist.
Es gilt ja : F'(x)=f(x)
Marius
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